Mostre que a aplicação
da por
define um produto interno no espaço vetorial
. Em seguida, determine todos os polinômios
que são ortogonais ao polinômio
, isto é, produto interno
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 1 com coeficientes reais. O exercício quer que a gente mostre que a aplicação
define um produto interno nesse espaço vetorial. Depois, precisamos encontrar todos os polinômios
que são ortogonais a
, ou seja, que satisfazem
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e o que significa ser ortogonal em um espaço vetorial.
Passo 2
Vamos começar relembrando o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial é uma função que associa a cada par de vetores
e
um número real
, satisfazendo quatro propriedades fundamentais:
- Linearidade em cada argumento:
- Simetria:
- Positividade:
- Definitude:
Se a aplicação
satisfaz essas propriedades, então ela define um produto interno no espaço vetorial.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a aplicação dada satisfaz essas propriedades para
.
1. Linearidade:
Sejam
e
, e
escalares reais.
Então,
Calculando:
Isso pode ser reescrito como:
Então, a linearidade está satisfeita.
2. Simetria:
Para quaisquer
,
Portanto, a simetria está satisfeita.
3. Positividade e Definitude:
Para qualquer
,
E
implica que
e
. Como
, temos:
Daí,
e
, ou seja,
.
Portanto, a positividade e a definitude também estão satisfeitas.
Passo 4
Como todas as propriedades do produto interno são satisfeitas, a aplicação
define de fato um produto interno no espaço vetorial
.
Agora, vamos para a segunda parte do exercício: encontrar todos os polinômios
que são ortogonais a
. Isso significa que queremos
.
Passo 5
Vamos calcular o produto interno
:
Primeiro, encontramos
e
:
Agora, para
:
Substituindo na expressão do produto interno:
Queremos que esse produto seja igual a zero:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a equação
para encontrar os valores de
e
que satisfazem essa condição.
Podemos expressar
em termos de
:
Portanto, os polinômios
que são ortogonais a
têm a forma:
Onde
é um número real qualquer.
Resposta
Todos os polinômios
ortogonais a
são da forma
onde
é um número real qualquer.