Mostre que a aplicação lang<=cdot, cdotrang<=: P1(R) times P1(R) longrightarrow R da por
lang<= p, qrang<==p(0) q(0)+p(1) q(1)
define um produto interno no espaço vetorial P1(R). Em seguida, determine todos os polinômios q(x)=a+b x in P1(R) que são ortogonais ao polinômio p(x)=1+x, isto é, produto interno lang<= p, qrang<==0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um espaço vetorial lang<= p, q rang<= = p(0) q(0) + p(1) q(1) , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 1 com coeficientes reais. O exercício quer que a gente mostre que a aplicação
define um produto interno nesse espaço vetorial. Depois, precisamos encontrar todos os polinômios que são ortogonais a , ou seja, que satisfazem .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e o que significa ser ortogonal em um espaço vetorial.

Passo 2

Vamos começar relembrando o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial é uma função que associa a cada par de vetores lang<= au + bv, w rang<= = a lang<= u, w rang<= + b lang<= v, w rang<= e lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<= um número real lang<= u, u rang<= >= 0 , satisfazendo quatro propriedades fundamentais:
  1. Linearidade em cada argumento: lang<= u, u rang<= = 0 implies u = 0
  2. Simetria:
  3. Positividade:
  4. Definitude:
Se a aplicação satisfaz essas propriedades, então ela define um produto interno no espaço vetorial.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a aplicação dada satisfaz essas propriedades para lang<= alpha p1 + beta p2, q rang<= = (alpha p1 + beta p2)(0) cdot q(0) + (alpha p1 + beta p2)(1) cdot q(1) .
1. Linearidade:
Sejam = [alpha p1(0) + beta p2(0)] q(0) + [alpha p1(1) + beta p2(1)] q(1) e alpha [p1(0) q(0) + p1(1) q(1)] + beta [p2(0) q(0) + p2(1) q(1)] = alpha lang<= p1, q rang<= + beta lang<= p2, q rang<= , e lang<= p, q rang<= = p(0) q(0) + p(1) q(1) = q(0) p(0) + q(1) p(1) = lang<= q, p rang<= escalares reais.
Então,
lang<= p, p rang<= = p(0)^2 + p(1)^2 >= 0
Calculando:
p(0) = a = 0
Isso pode ser reescrito como:
p(1) = a + b = 0
Então, a linearidade está satisfeita.
2. Simetria:
Para quaisquer ,
Portanto, a simetria está satisfeita.
3. Positividade e Definitude:
Para qualquer ,
E implica que e . Como , temos:
Daí, e , ou seja, .
Portanto, a positividade e a definitude também estão satisfeitas.

Passo 4

Como todas as propriedades do produto interno são satisfeitas, a aplicação
lang<= p, q rang<= = p(0) q(0) + p(1) q(1)
define de fato um produto interno no espaço vetorial .
Agora, vamos para a segunda parte do exercício: encontrar todos os polinômios que são ortogonais a . Isso significa que queremos .

Passo 5

Vamos calcular o produto interno lang<= p, q rang<= = p(0) q(0) + p(1) q(1) :
lang<= p, q rang<= = p(0) q(0) + p(1) q(1) = (1)(a) + (2)(a + b) = a + 2a + 2b = 3a + 2b
Primeiro, encontramos 3a + 2b = 0 e :
Agora, para :
Substituindo na expressão do produto interno:
Queremos que esse produto seja igual a zero:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a equação 3a = -2b implies a = -23 b para encontrar os valores de q(x) = -23 b + b x = b ( -23 + x ) e que satisfazem essa condição.
Podemos expressar em termos de :
Portanto, os polinômios que são ortogonais a têm a forma:
Onde é um número real qualquer.

Resposta

Todos os polinômios q(x) = b ( x - 23 ) ortogonais a são da forma
onde é um número real qualquer.

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