Sejam os vetores , e em . Verifique se o conjunto é linearmente dependente ou independente.
Passo 1
Neste exercício, queremos verificar se o conjunto de vetores é linearmente dependente ou independente. Estamos trabalhando com vetores no espaço e vamos usar conceitos de combinação linear e determinantes para resolver.
Passo 2
Primeiro, lembramos que um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Para verificar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz.
Passo 3
Construímos a matriz cujas colunas são os vetores , e :
Passo 4
Calculamos o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for zero, eles são linearmente dependentes.
Passo 5
Vamos calcular o determinante de :
Resposta
O determinante é zero, portanto, o conjunto é linearmente dependente.