Sejam os vetores u1=(1,1,1), u2=(2,3,4) e u3=(3,5,7) em R^3. Verifique se o conjunto u1, u2, u3 é linearmente dependente ou independente.

Passo 1

Neste exercício, queremos verificar se o conjunto de vetores u1, u2, u3 é linearmente dependente ou independente. Estamos trabalhando com vetores no espaço R^3 e vamos usar conceitos de combinação linear e determinantes para resolver.

Passo 2

Primeiro, lembramos que um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Para verificar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz.

Passo 3

Construímos a matriz A cujas colunas são os vetores u1, u2 e u3:
A = 1 & 2 & 3 1 & 3 & 5 1 & 4 & 7

Passo 4

Calculamos o determinante da matriz A. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for zero, eles são linearmente dependentes.

Passo 5

Vamos calcular o determinante de A:
det(A) = 1 times (3 times 7 - 5 times 4) - 2 times (1 times 7 - 5 times 1) + 3 times (1 times 4 - 3 times 1)
det(A) = 1 times (21 - 20) - 2 times (7 - 5) + 3 times (4 - 3)
det(A) = 1 times 1 - 2 times 2 + 3 times 1
det(A) = 1 - 4 + 3 = 0

Resposta

O determinante é zero, portanto, o conjunto u1, u2, u3 é linearmente dependente.

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