Sejam os vetores , e em . Verifique se o conjunto é linearmente dependente ou independente.

Passo 1

Neste exercício, queremos verificar se o conjunto de vetores é linearmente dependente ou independente. Estamos trabalhando com vetores no espaço e vamos usar conceitos de combinação linear e determinantes para resolver.

Passo 2

Primeiro, lembramos que um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Para verificar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz.

Passo 3

Construímos a matriz cujas colunas são os vetores , e :

Passo 4

Calculamos o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for zero, eles são linearmente dependentes.

Passo 5

Vamos calcular o determinante de :

Resposta

O determinante é zero, portanto, o conjunto é linearmente dependente.

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Dados os polinômios
calcule
em que é o ângulo entre os polinômios e .
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