Sejam os vetores v1=(1,0,-1), v2=(0,1,1) e v3=(1,1,0) em R^3. Determine se o conjunto v1, v2, v3 forma uma base de R^3. Em caso negativo, encontre uma base e calcule a dimensão do subespaço gerado por esses vetores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe está no campo da álgebra linear, mais especificamente sobre bases de espaços vetoriais. O que a questão pede é para verificar se os vetores , e formam uma base para o espaço . Se não formarem, a gente precisa encontrar uma base que eles geram e calcular a dimensão desse subespaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Para , isso significa que precisamos de 3 vetores que não estejam na mesma linha ou plano uns dos outros.

Passo 3

Para saber se os vetores c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 formam uma base, vamos verificar se eles são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em termos matemáticos:
Precisamos ver se a única solução para essa equação é .

Passo 4

Vamos montar uma matriz com os vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
A matriz A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 -1 & 1 & 0 fica assim:
det(A) = 1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 1) - 0 cdot (0 cdot 0 - (-1) cdot 1) + 1 cdot (0 cdot 1 - (-1) cdot 1)
Agora, calculamos o determinante de det(A) = 1 cdot (0 - 1) - 0 + 1 cdot (0 + 1) :
det(A) = -1 + 0 + 1 = 0

Passo 5

Como o determinante de é zero, isso significa que os vetores não são linearmente independentes. Portanto, eles não formam uma base para .

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma base para o subespaço gerado por esses vetores. Para isso, identificamos quais vetores são linearmente independentes. Vamos observar que:
Perceba que , ou seja, é uma combinação linear de e . Assim, podemos descartar e considerar apenas e .

Passo 7

Vamos verificar se B = 1 & 0 0 & 1 -1 & 1 e det(B) = 1 cdot 1 - 0 cdot (-1) = 1 neq 0 são linearmente independentes. Montamos a matriz:
Calculamos o determinante de uma matriz :
Como o determinante é diferente de zero, e são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para o subespaço gerado.

Passo 8

Por fim, a dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Já que encontramos que a base é formada por e , a dimensão desse subespaço é 2.

Resposta

O conjunto não forma uma base de . Uma base para o subespaço gerado por esses vetores é e a dimensão desse subespaço é 2.

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