Sejam os vetores e em . Determine se o conjunto forma uma base de . Em caso negativo, encontre uma base calcule a dimensão do subespaço gerado por esses vetores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe está no campo da álgebra linear, mais especificamente sobre bases de espaços vetoriais. O que a questão pede é para verificar se os vetores , e formam uma base para o espaço . Se não formarem, a gente precisa encontrar uma base que eles geram e calcular a dimensão desse subespaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Para , isso significa que precisamos de 3 vetores que não estejam na mesma linha ou plano uns dos outros.
Passo 3
Para saber se os vetores formam uma base, vamos verificar se eles são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em termos matemáticos:
Precisamos ver se a única solução para essa equação é .
Passo 4
Vamos montar uma matriz com os vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
A matriz fica assim:
Agora, calculamos o determinante de :
Passo 5
Como o determinante de é zero, isso significa que os vetores não são linearmente independentes. Portanto, eles não formam uma base para .
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma base para o subespaço gerado por esses vetores. Para isso, identificamos quais vetores são linearmente independentes. Vamos observar que:
Perceba que , ou seja, é uma combinação linear de e . Assim, podemos descartar e considerar apenas e .
Passo 7
Vamos verificar se e são linearmente independentes. Montamos a matriz:
Calculamos o determinante de uma matriz :
Como o determinante é diferente de zero, e são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para o subespaço gerado.
Passo 8
Por fim, a dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Já que encontramos que a base é formada por e , a dimensão desse subespaço é 2.
Resposta
O conjunto não forma uma base de . Uma base para o subespaço gerado por esses vetores é e a dimensão desse subespaço é 2.