Considere o espaço vetorial V=R^4 e seja W o conjunto de todas as soluções do sistema linear homogêneo a seguir:
l x+2 y-z+w=0 2 x-y+3 z-w=0 -x+y+4 z+2 w=0
Verifique se W é um subespaço de R^4.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial V = R^4 e um conjunto W definido como todas as soluções do sistema linear homogêneo dado. O conteúdo que vamos utilizar aqui envolve sistemas lineares e subespaços vetoriais. Para resolver, precisamos verificar se W satisfaz as condições para ser um subespaço de R^4.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um subespaço vetorial deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Como W é o conjunto de soluções de um sistema homogêneo, ele já contém o vetor zero (já que substituir todos os componentes por zero satisfaz as equações).

Passo 3

Agora, vamos verificar se W é fechado sob a adição de vetores. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer u e v em W, a soma u + v também deve estar em W.
Como u e v são soluções do sistema homogêneo, elas satisfazem todas as equações do sistema. Somando as equações, a soma u + v também satisfaz as mesmas equações, portanto, u + v in W.

Passo 4

Por último, vamos verificar se W é fechado sob a multiplicação por escalar. Se pegarmos um vetor u em W e um escalar c, o produto c cdot u também deve estar em W.
Multiplicando as equações do sistema por c, vemos que c cdot u satisfaz todas as equações do sistema, logo, c cdot u in W.

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço de R^4.

Exercícios relacionados