Considere o espaço vetorial e seja o conjunto de todas as soluções do sistema linear homogêneo a seguir:
Verifique se é um subespaço de .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial e um conjunto definido como todas as soluções do sistema linear homogêneo dado. O conteúdo que vamos utilizar aqui envolve sistemas lineares e subespaços vetoriais. Para resolver, precisamos verificar se satisfaz as condições para ser um subespaço de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um subespaço vetorial deve satisfazer três condições:
Contém o vetor zero.
É fechado sob adição de vetores.
É fechado sob multiplicação por escalar.
Como é o conjunto de soluções de um sistema homogêneo, ele já contém o vetor zero (já que substituir todos os componentes por zero satisfaz as equações).
Passo 3
Agora, vamos verificar se é fechado sob a adição de vetores. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer e em , a soma também deve estar em .
Como e são soluções do sistema homogêneo, elas satisfazem todas as equações do sistema. Somando as equações, a soma também satisfaz as mesmas equações, portanto, .
Passo 4
Por último, vamos verificar se é fechado sob a multiplicação por escalar. Se pegarmos um vetor em e um escalar , o produto também deve estar em .
Multiplicando as equações do sistema por , vemos que satisfaz todas as equações do sistema, logo, .
Resposta
Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .