Considere o espaço vetorial e seja o conjunto de todas as soluções do sistema linear homogêneo a seguir:
Verifique se W é um subespaço de R^4.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial V = R^4 e um conjunto W definido como todas as soluções do sistema linear homogêneo dado. O conteúdo que vamos utilizar aqui envolve sistemas lineares e subespaços vetoriais. Para resolver, precisamos verificar se W satisfaz as condições para ser um subespaço de R^4.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um subespaço vetorial deve satisfazer três condições:
Contém o vetor zero.
É fechado sob adição de vetores.
É fechado sob multiplicação por escalar.
Como W é o conjunto de soluções de um sistema homogêneo, ele já contém o vetor zero (já que substituir todos os componentes por zero satisfaz as equações).
Passo 3
Agora, vamos verificar se W é fechado sob a adição de vetores. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer u e v em W, a soma u + v também deve estar em W.
Como u e v são soluções do sistema homogêneo, elas satisfazem todas as equações do sistema. Somando as equações, a soma u + v também satisfaz as mesmas equações, portanto, u + v in W.
Passo 4
Por último, vamos verificar se W é fechado sob a multiplicação por escalar. Se pegarmos um vetor u em W e um escalar c, o produto c cdot u também deve estar em W.
Multiplicando as equações do sistema por c, vemos que c cdot u satisfaz todas as equações do sistema, logo, c cdot u in W.
Resposta
Como W contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço de R^4.