Seja
o espaço vetorial de todas as matrizes
com entradas reais. Defina
como o conjunto de todas as matrizes antissimétricas de ordem n, ou seja,
onde
denota a matriz transposta de
. Verifique se
é um subespaço de
.
Passo 1
Então, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de Álgebra Linear. Estamos trabalhando com espaços vetoriais, especificamente com o espaço de todas as matrizes
de números reais, denotado por
. Queremos verificar se o conjunto
, que consiste em todas as matrizes antissimétricas de ordem
(ou seja, matrizes
onde
), é um subespaço de
. Para isso, precisamos lembrar quais são os critérios que definem um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz antissimétrica. Uma matriz
é antissimétrica se a transposta dela,
, é igual ao negativo dela mesma:
Isso significa que os elementos na diagonal principal de
devem ser nulos, porque
implica
.
Passo 3
Agora, para verificar se
é um subespaço de
, precisamos checar três condições:
- O vetor zero está em
: O vetor zero no contexto das matrizes é a matriz onde todos os elementos são zero. - Fechamento sob adição: Se pegarmos duas matrizes antissimétricas e somarmos elas, o resultado também deve ser uma matriz antissimétrica.
- Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz antissimétrica por um número real qualquer, o resultado também deve ser uma matriz antissimétrica.
Passo 4
1. O vetor zero está em
:
Vamos verificar se a matriz zero satisfaz a condição antissimétrica.
Vamos verificar se a matriz zero satisfaz a condição antissimétrica.
Sim, a matriz zero é antissimétrica. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 5
2. Fechamento sob adição:
Sejam e
duas matrizes antissimétricas em
. Queremos mostrar que
também está em
.
Sejam
Calculando a transposta de
:
Portanto,
também é antissimétrica. A segunda condição está satisfeita.
Passo 6
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja um número real e
uma matriz antissimétrica em
. Queremos mostrar que
também está em
.
Seja
Calculando a transposta de
:
Portanto,
também é antissimétrica. A terceira condição está satisfeita.
Resposta
Como todas as três condições para ser um subespaço são satisfeitas, concluímos que
é, de fato, um subespaço de
.