Seja V=Mn(R) o espaço vetorial de todas as matrizes n times n com entradas reais. Defina W como o conjunto de todas as matrizes antissimétricas de ordem n, ou seja,
W=A in V mid A^T=-A
onde A^T denota a matriz transposta de A. Verifique se W é um subespaço de V.

Passo 1

Então, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de Álgebra Linear. Estamos trabalhando com espaços vetoriais, especificamente com o espaço de todas as matrizes de números reais, denotado por . Queremos verificar se o conjunto , que consiste em todas as matrizes antissimétricas de ordem (ou seja, matrizes onde ), é um subespaço de . Para isso, precisamos lembrar quais são os critérios que definem um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz antissimétrica. Uma matriz A^T = -A é antissimétrica se a transposta dela, , é igual ao negativo dela mesma:
Isso significa que os elementos na diagonal principal de devem ser nulos, porque implica .

Passo 3

Agora, para verificar se é um subespaço de , precisamos checar três condições:
  1. O vetor zero está em : O vetor zero no contexto das matrizes é a matriz onde todos os elementos são zero.
  2. Fechamento sob adição: Se pegarmos duas matrizes antissimétricas e somarmos elas, o resultado também deve ser uma matriz antissimétrica.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz antissimétrica por um número real qualquer, o resultado também deve ser uma matriz antissimétrica.

Passo 4

1. O vetor zero está em 0^T = 0 = -0 :
Vamos verificar se a matriz zero satisfaz a condição antissimétrica.
Sim, a matriz zero é antissimétrica. Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 5

2. Fechamento sob adição:
Sejam (A + B)^T = A^T + B^T = -A + (-B) = -(A + B) e duas matrizes antissimétricas em . Queremos mostrar que também está em .
Calculando a transposta de :
Portanto, também é antissimétrica. A segunda condição está satisfeita.

Passo 6

3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja (cA)^T = cA^T = c(-A) = -cA um número real e uma matriz antissimétrica em . Queremos mostrar que também está em .
Calculando a transposta de :
Portanto, também é antissimétrica. A terceira condição está satisfeita.

Resposta

Como todas as três condições para ser um subespaço são satisfeitas, concluímos que é, de fato, um subespaço de .

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