Então, vamos lá! A gente tem que achar uma transformação linear . O que isso significa? Basicamente, que vai pegar vetores de 3 dimensões e transformá-los em outros vetores de 3 dimensões de uma maneira que respeita as propriedades das transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, como vai de para , a matriz será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de . Nossa missão é encontrar os elementos de de forma que:
Passo 3
Vamos representar a matriz A = a & b & c d & e & f g & h & i da seguinte maneira:
1 1 0
Agora, vamos multiplicar a + b + 0c d + e + 0f g + h + 0i pelos vetores dados e igualar aos vetores resultados:
1 0 2
Isso nos dá as equações:
a + b = 1 d + e = 0 g + h = 2
1 0 1
Isso nos dá as equações:
a + 0b + c d + 0e + f g + 0h + i
0 1 2
Isso nos dá as equações:
a + c = 0 d + f = 1 g + i = 2
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo:
Da primeira equação do primeiro conjunto: (1)
Da primeira equação do segundo conjunto: (2)
Subtraindo (2) de (1): => (4)
Da terceira equação do primeiro conjunto: (3)
Da terceira equação do segundo conjunto: (5)
Subtraindo (5) de (3): => => (6)
Da terceira equação do terceiro conjunto: (7)
Como , substituímos na equação (7): => => e, portanto,
Voltando para e sabendo que :
Da segunda equação do primeiro conjunto: (8)
Da segunda equação do segundo conjunto: (9)
Da segunda equação do terceiro conjunto: (10)
Da equação (8):
Substituindo em (10): =>
Substituindo em (9): => => =>
Então, e
Agora, voltando ao conjunto de equações para :
De (2): =>
De (1): =>
De (4): => => =>
Isso não nos dá mais informações, então podemos escolher como variável livre. Para simplificar, vamos definir .
Então, e
Resposta
A transformação linear A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 2 & 0 & 0 é representada pela matriz