Encontre uma transformação linear T: R^3 longrightarrow R^3 para a qual T(1,1,0)= (1,0,2), T(1,0,1)=(0,1,2) e T(0,1,1)=(2,1,0).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que achar uma transformação linear . O que isso significa? Basicamente, que vai pegar vetores de 3 dimensões e transformá-los em outros vetores de 3 dimensões de uma maneira que respeita as propriedades das transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, como A 1 1 0 = 1 0 2 , A 1 0 1 = 0 1 2 , A 0 1 1 = 2 1 0 vai de para , a matriz será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de . Nossa missão é encontrar os elementos de de forma que:

Passo 3

Vamos representar a matriz A = a & b & c d & e & f g & h & i da seguinte maneira:
1 1 0
Agora, vamos multiplicar a + b + 0c d + e + 0f g + h + 0i pelos vetores dados e igualar aos vetores resultados:
  1. 1 0 2
    Isso nos dá as equações:
    a + b = 1 d + e = 0 g + h = 2
  2. 1 0 1
    Isso nos dá as equações:
    a + 0b + c d + 0e + f g + 0h + i
  3. 0 1 2
    Isso nos dá as equações:
    a + c = 0 d + f = 1 g + i = 2

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo:
  1. Da primeira equação do primeiro conjunto: (1)
  2. Da primeira equação do segundo conjunto: (2)
    Subtraindo (2) de (1): => (4)
  3. Da terceira equação do primeiro conjunto: (3)
  4. Da terceira equação do segundo conjunto: (5)
    Subtraindo (5) de (3): => => (6)
  5. Da terceira equação do terceiro conjunto: (7)
    Como , substituímos na equação (7): => => e, portanto,
  6. Voltando para e sabendo que :
  7. Da segunda equação do primeiro conjunto: (8)
  8. Da segunda equação do segundo conjunto: (9)
  9. Da segunda equação do terceiro conjunto: (10)
    Da equação (8):
    Substituindo em (10): =>
    Substituindo em (9): => => =>
    Então, e
  10. Agora, voltando ao conjunto de equações para :
    De (2): =>
    De (1): =>
    De (4): => => =>
    Isso não nos dá mais informações, então podemos escolher como variável livre. Para simplificar, vamos definir .
    Então, e

Resposta

A transformação linear A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 2 & 0 & 0 é representada pela matriz

Exercícios relacionados