Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
T: P3[x] longrightarrow P3[x] dada por T p=p-x p^prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma base para a imagem de uma transformação linear que atua no espaço dos polinômios de grau até 3, . O conteúdo aqui envolve transformações lineares e espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como age sobre os polinômios e identificar quais polinômios estão na imagem dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos definir um polinômio genérico em T(p) = p - x p' . Seja , onde são coeficientes reais. A transformação é dada por:
Aqui, representa a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular p'(x) = a1 + 2a2x + 3a3x^2 aplicando a definição da transformação. Primeiro, encontramos a derivada x p'(x) = a1x + 2a2x^2 + 3a3x^3 :
T(p) = p(x) - x p'(x) = (a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3) - (a1x + 2a2x^2 + 3a3x^3)
Agora, multiplicamos T(p) = a0 + (a1x - a1x) + (a2x^2 - 2a2x^2) + (a3x^3 - 3a3x^3) por T(p) = a0 - a2x^2 - 2a3x^3 :
Subtraindo isso de :
Simplificando:

Passo 4

Observamos que T(p) = a0 - a2x^2 - 2a3x^3 resulta em um polinômio da forma:
Isso significa que a imagem de é composta por polinômios onde o termo linear ( ) desaparece e os termos constantes, quadráticos e cúbicos são combinados de forma específica.

Passo 5

Para encontrar uma base para a imagem de T(1) = 1, T(x) = 0, T(x^2) = -x^2, T(x^3) = -2x^3 , vamos aplicar a uma base padrão de , que é :
Assim, a imagem de cada vetor da base é:

Passo 6

Agora, identificamos os vetores não nulos na imagem:
1, -x^2, -2x^3
Verificamos se são linearmente independentes. Suponha que exista uma combinação linear . Isso implica que , mostrando que são independentes.

Resposta

Uma base para a imagem de é .

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