Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma base para a imagem de uma transformação linear que atua no espaço dos polinômios de grau até 3, . O conteúdo aqui envolve transformações lineares e espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como age sobre os polinômios e identificar quais polinômios estão na imagem dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos definir um polinômio genérico em . Seja , onde são coeficientes reais. A transformação é dada por:
Aqui, representa a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular aplicando a definição da transformação. Primeiro, encontramos a derivada :
Agora, multiplicamos por :
Subtraindo isso de :
Simplificando:

Passo 4

Observamos que resulta em um polinômio da forma:
Isso significa que a imagem de é composta por polinômios onde o termo linear ( ) desaparece e os termos constantes, quadráticos e cúbicos são combinados de forma específica.

Passo 5

Para encontrar uma base para a imagem de , vamos aplicar a uma base padrão de , que é :
Assim, a imagem de cada vetor da base é:

Passo 6

Agora, identificamos os vetores não nulos na imagem:
Verificamos se são linearmente independentes. Suponha que exista uma combinação linear . Isso implica que , mostrando que são independentes.

Resposta

Uma base para a imagem de é .

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onde denota a matriz transposta de . Verifique se é um subespaço de .
Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por .
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Verifique se é um subespaço de .
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