Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo: dada por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma base para a imagem de uma transformação linear que atua no espaço dos polinômios de grau até 3, . O conteúdo aqui envolve transformações lineares e espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como age sobre os polinômios e identificar quais polinômios estão na imagem dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos definir um polinômio genérico em . Seja , onde são coeficientes reais. A transformação é dada por:
Aqui, representa a derivada de em relação a .
Passo 3
Vamos calcular aplicando a definição da transformação. Primeiro, encontramos a derivada :
Agora, multiplicamos por :
Subtraindo isso de :
Simplificando:
Passo 4
Observamos que resulta em um polinômio da forma:
Isso significa que a imagem de é composta por polinômios onde o termo linear () desaparece e os termos constantes, quadráticos e cúbicos são combinados de forma específica.
Passo 5
Para encontrar uma base para a imagem de , vamos aplicar a uma base padrão de , que é :
Assim, a imagem de cada vetor da base é:
Passo 6
Agora, identificamos os vetores não nulos na imagem:
Verificamos se são linearmente independentes. Suponha que exista uma combinação linear . Isso implica que , mostrando que são independentes.