Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma base para a imagem de uma transformação linear
que atua no espaço dos polinômios de grau até 3,
. O conteúdo aqui envolve transformações lineares e espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como
age sobre os polinômios e identificar quais polinômios estão na imagem dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos definir um polinômio genérico em
. Seja
, onde
são coeficientes reais. A transformação
é dada por:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
aplicando a definição da transformação. Primeiro, encontramos a derivada
:
Agora, multiplicamos
por
:
Subtraindo isso de
:
Simplificando:
Passo 4
Observamos que
resulta em um polinômio da forma:
Isso significa que a imagem de
é composta por polinômios onde o termo linear (
) desaparece e os termos constantes, quadráticos e cúbicos são combinados de forma específica.
Passo 5
Para encontrar uma base para a imagem de
, vamos aplicar
a uma base padrão de
, que é
:
Assim, a imagem de cada vetor da base é:
Passo 6
Agora, identificamos os vetores não nulos na imagem:
Verificamos se são linearmente independentes. Suponha que exista uma combinação linear
. Isso implica que
, mostrando que são independentes.
Resposta
Uma base para a imagem de
é
.