Seja r a reta contida no plano pi: 2 x+y-z-4=0, que passa pelos pontos (0,5,1) e (1,3,1). Assinale a alternativa que contém as coordenadas de um ponto da reta perpendicular a r, contida em pi, que passa por (1,3,1).
(A) (-4,0,-12)
(B) (-1,1,-5)
© (2,3,3)
(D) (-3,1,-9)
(E) (1,2,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma reta que está dentro do plano e passa pelos pontos e . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de um ponto que está numa reta perpendicular a , também dentro do plano , que passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores de retas e condições de perpendicularidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta v = (1-0, 3-5, 1-1) = (1, -2, 0) . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos que a reta passa:
Então, o vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a equação da reta perpendicular a v cdot u = 1 cdot a + (-2) cdot b + 0 cdot c = 0 Rightarrow a - 2b = 0 Rightarrow a = 2b que está no plano e passa por . Para que duas retas sejam perpendiculares, seus vetores diretores devem ter produto escalar igual a zero.
Seja o vetor diretor da reta perpendicular. Então:

Passo 4

Além disso, como a reta perpendicular está no plano u cdot n = 2a + 1b - 1c = 0 , o vetor diretor 2(2b) + b - c = 0 Rightarrow 4b + b - c = 0 Rightarrow 5b - c = 0 Rightarrow c = 5b também deve ser perpendicular ao vetor normal do plano . O vetor normal de é .
Então:
Substituindo :

Passo 5

Então, o vetor diretor u = (2b, b, 5b) = b(2, 1, 5) pode ser expresso em termos de :
Podemos escolher para simplificar, então .

Passo 6

Agora, temos a equação da reta perpendicular:
r = (1,3,1) + t(2,1,5)
Onde é um parâmetro real.

Passo 7

Precisamos encontrar um ponto específico dessa reta. Vamos escolher r = (1,3,1) + (-2)(2,1,5) = (1 - 4, 3 - 2, 1 - 10) = (-3, 1, -9) para facilitar:

Resposta

A alternativa que contém as coordenadas do ponto é a (D) .

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