Seja
a reta contida no plano
, que passa pelos pontos
e
. Assinale a alternativa que contém as coordenadas de um ponto da reta perpendicular a
, contida em
, que passa por
.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma reta
que está dentro do plano
e passa pelos pontos
e
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de um ponto que está numa reta perpendicular a
, também dentro do plano
, que passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores de retas e condições de perpendicularidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta
. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos que a reta passa:
Então, o vetor diretor de
é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a equação da reta perpendicular a
que está no plano
e passa por
. Para que duas retas sejam perpendiculares, seus vetores diretores devem ter produto escalar igual a zero.
Seja
o vetor diretor da reta perpendicular. Então:
Passo 4
Além disso, como a reta perpendicular está no plano
, o vetor diretor
também deve ser perpendicular ao vetor normal do plano
. O vetor normal de
é
.
Então:
Substituindo
:
Passo 5
Então, o vetor diretor
pode ser expresso em termos de
:
Podemos escolher
para simplificar, então
.
Passo 6
Agora, temos a equação da reta perpendicular:
Onde
é um parâmetro real.
Passo 7
Precisamos encontrar um ponto específico dessa reta. Vamos escolher
para facilitar:
Resposta
A alternativa que contém as coordenadas do ponto é a (D)
.
Exercícios relacionados
Considere o espaço vetorial
. Seja
. Determine uma base para
.
Determine a equação de cada seção cônica.
(a) Hipérbole de vértices e
.
(b) Parábola de foco e diretriz
.
© Elipse de vértices e focos
.
(d) Hipérbole de vértices e assíntotas
.
(a) Hipérbole de vértices
(b) Parábola de foco
© Elipse de vértices
(d) Hipérbole de vértices
Sejam
e
matrizes de ordem
. Se
, então
é uma matriz inversível? Caso afirmativo, determine a inversa de
.
Usando a Regra de Cramer, resolva o sistema abaixo: