Sejam e matrizes de ordem . Se , então é uma matriz inversível? Caso afirmativo, determine a inversa de .
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos diz que temos duas matrizes quadradas e de ordem . A equação dada é . Nosso objetivo é descobrir se a matriz é inversível, ou seja, se existe uma matriz tal que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes inversíveis e a manipulação de equações matriciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Queremos isolar o termo que nos permitirá encontrar . Vamos rearranjar a equação para facilitar isso.
Passo 3
Rearranjando a equação:
Agora, podemos fatorar no lado esquerdo da equação:
Aqui, é a matriz identidade de ordem .
Passo 4
Nosso objetivo é expressar , então vamos manipular a equação para isolá-lo. Multiplicando ambos os lados pela matriz inversa de , se existir:
Sabemos que , então:
Portanto:
Passo 5
Agora, multiplicamos ambos os lados por para simplificar:
Distribuindo o sinal negativo:
Ou seja:
Passo 6
Concluímos que a matriz é inversível, pois conseguimos expressar sua inversa em termos de e da matriz identidade . A inversa de é:
Resposta
Sim, a matriz é inversível e sua inversa é dada por .