Sejam e matrizes de ordem . Se , então é uma matriz inversível? Caso afirmativo, determine a inversa de .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos diz que temos duas matrizes quadradas e de ordem . A equação dada é . Nosso objetivo é descobrir se a matriz é inversível, ou seja, se existe uma matriz tal que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes inversíveis e a manipulação de equações matriciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Queremos isolar o termo que nos permitirá encontrar . Vamos rearranjar a equação para facilitar isso.

Passo 3

Rearranjando a equação:
Agora, podemos fatorar no lado esquerdo da equação:
Aqui, é a matriz identidade de ordem .

Passo 4

Nosso objetivo é expressar , então vamos manipular a equação para isolá-lo. Multiplicando ambos os lados pela matriz inversa de , se existir:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 5

Agora, multiplicamos ambos os lados por para simplificar:
Distribuindo o sinal negativo:
Ou seja:

Passo 6

Concluímos que a matriz é inversível, pois conseguimos expressar sua inversa em termos de e da matriz identidade . A inversa de é:

Resposta

Sim, a matriz é inversível e sua inversa é dada por .

Exercícios relacionados

Seja a reta contida no plano , que passa pelos pontos e . Assinale a alternativa que contém as coordenadas de um ponto da reta perpendicular a , contida em , que passa por .
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Considere o espaço vetorial . Seja . Determine uma base para .
Usando a Regra de Cramer, resolva o sistema abaixo:
A matriz , descrita abaixo, é inversível? Caso afirmativo, determine sua inversa.