Sejam
e
matrizes de ordem
. Se
, então
é uma matriz inversível? Caso afirmativo, determine a inversa de
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos diz que temos duas matrizes quadradas
e
de ordem
. A equação dada é
. Nosso objetivo é descobrir se a matriz
é inversível, ou seja, se existe uma matriz
tal que
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes inversíveis e a manipulação de equações matriciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Queremos isolar o termo que nos permitirá encontrar
. Vamos rearranjar a equação para facilitar isso.
Passo 3
Rearranjando a equação:
Agora, podemos fatorar
no lado esquerdo da equação:
Aqui,
é a matriz identidade de ordem
.
Passo 4
Nosso objetivo é expressar
, então vamos manipular a equação para isolá-lo. Multiplicando ambos os lados pela matriz inversa de
, se existir:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 5
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para simplificar:
Distribuindo o sinal negativo:
Ou seja:
Passo 6
Concluímos que a matriz
é inversível, pois conseguimos expressar sua inversa em termos de
e da matriz identidade
. A inversa de
é:
Resposta
Sim, a matriz
é inversível e sua inversa é dada por
.