Sejam A e B matrizes de ordem n. Se A^2-2 A+I=0, então A é uma matriz inversível? Caso afirmativo, determine a inversa de A.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos diz que temos duas matrizes quadradas e de ordem . A equação dada é . Nosso objetivo é descobrir se a matriz é inversível, ou seja, se existe uma matriz tal que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes inversíveis e a manipulação de equações matriciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada:
A^2 - 2A + I = 0
Queremos isolar o termo que nos permitirá encontrar . Vamos rearranjar a equação para facilitar isso.

Passo 3

Rearranjando a equação:
A^2 - 2A = -I
Agora, podemos fatorar A(A - 2I) = -I no lado esquerdo da equação:
Aqui, é a matriz identidade de ordem .

Passo 4

Nosso objetivo é expressar A^-1 cdot A (A - 2I) = A^-1 cdot (-I) , então vamos manipular a equação para isolá-lo. Multiplicando ambos os lados pela matriz inversa de I (A - 2I) = -A^-1 , se existir:
A - 2I = -A^-1
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 5

Agora, multiplicamos ambos os lados por - (A - 2I) = A^-1 para simplificar:
-A + 2I = A^-1
Distribuindo o sinal negativo:
A^-1 = 2I - A
Ou seja:

Passo 6

Concluímos que a matriz A^-1 = 2I - A é inversível, pois conseguimos expressar sua inversa em termos de e da matriz identidade . A inversa de é:

Resposta

Sim, a matriz é inversível e sua inversa é dada por .

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