Considere o espaço vetorial
. Seja
. Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais. Precisaremos verificar se
satisfaz três condições importantes: contém o vetor zero, é fechado em relação à adição e é fechado em relação à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo esses valores na equação que define
:
Isso confirma que o vetor zero pertence a
.
Passo 3
Agora, vamos conferir se
é fechado sob adição de vetores. Ou seja, se tomarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Como
e
estão em
, temos:
Somando essas duas equações:
Isso mostra que
também satisfaz a equação de
, ou seja, está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se
está em
e
é um número real qualquer, então o vetor
deve também estar em
.
Como
está em
, temos:
Multiplicando cada termo por
:
Portanto,
também satisfaz a equação de
, confirmando que está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.
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