Considere o espaço vetorial V=R^3. Seja W=(x, y, z) in R^3 ; 5 x+y-2 z=0 subset V. Mostre que W é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que o conjunto é um subespaço vetorial do espaço . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais. Precisaremos verificar se satisfaz três condições importantes: contém o vetor zero, é fechado em relação à adição e é fechado em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 5(0) + 0 - 2(0) = 0 . O vetor zero em 0 + 0 - 0 = 0 é 0 = 0 . Substituindo esses valores na equação que define :
Isso confirma que o vetor zero pertence a .

Passo 3

Agora, vamos conferir se 5x1 + y1 - 2z1 = 0 e 5x2 + y2 - 2z2 = 0 é fechado sob adição de vetores. Ou seja, se tomarmos dois vetores quaisquer 5(x1 + x2) + (y1 + y2) - 2(z1 + z2) = 0 + 0 = 0 e em , a soma também deve estar em .
Como e estão em , temos:
Somando essas duas equações:
Isso mostra que também satisfaz a equação de , ou seja, está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se 5x + y - 2z = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se 5(cx) + (cy) - 2(cz) = c(5x + y - 2z) = c cdot 0 = 0 está em e é um número real qualquer, então o vetor deve também estar em .
Como está em , temos:
Multiplicando cada termo por :
Portanto, também satisfaz a equação de , confirmando que está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que é, de fato, um subespaço vetorial de .

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