Esboce a curva dada pela equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
. O conteúdo aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre curvas cônicas. Para resolver, vamos completar o quadrado nos termos de
e
pra identificar que tipo de curva estamos lidando e depois esboçar ela no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Fatoramos o coeficiente de
, que é 3:
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
Então substituímos de volta:
Multiplicando o 3:
Passo 4
Agora, completamos o quadrado para os termos de
. Primeiro, vamos isolar os termos de
:
Simplificando:
Completa o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Multiplicando o -2:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para deixar no formato padrão das cônicas:
Dividindo todos os termos por 12 para simplificar:
Essa é a equação padrão de uma hipérbole com o eixo principal na direção do
.
Passo 6
Identificamos os parâmetros da hipérbole:
- Centro:
-
então -
então
Passo 7
Para esboçar a hipérbole:
- Marque o centro no ponto
. - Desenhe os eixos da hipérbole: horizontal com comprimento
e vertical com comprimento . - Trace as assimptotas usando a fórmula
, que fica . - Desenhe os ramos da hipérbole seguindo as assimptotas.
Resposta
A curva dada pela equação
é uma hipérbole com centro em
, e seu esboço apresenta ramos abertos horizontalmente seguindo as assimptotas
.
Exercícios relacionados
Considere o espaço vetorial
. Seja
. Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Esboce a curva dada pela equação:
Esboce a curva dada pela equação:
Use uma translação dos eixos coordenados para a nova origem indicada.