Esboce a curva dada pela equação:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . O conteúdo aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre curvas cônicas. Para resolver, vamos completar o quadrado nos termos de e pra identificar que tipo de curva estamos lidando e depois esboçar ela no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Fatoramos o coeficiente de , que é 3:
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
Então substituímos de volta:
Multiplicando o 3:

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para os termos de . Primeiro, vamos isolar os termos de :
Simplificando:
Completa o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Multiplicando o -2:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para deixar no formato padrão das cônicas:
Dividindo todos os termos por 12 para simplificar:
Essa é a equação padrão de uma hipérbole com o eixo principal na direção do .

Passo 6

Identificamos os parâmetros da hipérbole:
  • Centro:
  • então
  • então

Passo 7

Para esboçar a hipérbole:
  1. Marque o centro no ponto .
  2. Desenhe os eixos da hipérbole: horizontal com comprimento e vertical com comprimento .
  3. Trace as assimptotas usando a fórmula , que fica .
  4. Desenhe os ramos da hipérbole seguindo as assimptotas.

Resposta

A curva dada pela equação é uma hipérbole com centro em , e seu esboço apresenta ramos abertos horizontalmente seguindo as assimptotas .

Exercícios relacionados

Considere o espaço vetorial . Seja . Mostre que é um subespaço vetorial de .
Esboce a curva dada pela equação:
Esboce a curva dada pela equação:
Use uma translação dos eixos coordenados para a nova origem indicada.