Esboce a curva dada pela equação: 3 x^2-2 y^2-42 x-4 y+133=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . O conteúdo aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre curvas cônicas. Para resolver, vamos completar o quadrado nos termos de e pra identificar que tipo de curva estamos lidando e depois esboçar ela no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de 3x^2 - 42x - 2y^2 - 4y = -133 e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 3(x^2 - 14x) - 2y^2 - 4y = -133 . Fatoramos o coeficiente de x^2 - 14x = (x - 7)^2 - 49 , que é 3:
3[(x - 7)^2 - 49] - 2y^2 - 4y = -133
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
3(x - 7)^2 - 147 - 2y^2 - 4y = -133
Então substituímos de volta:
Multiplicando o 3:

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para os termos de -2y^2 - 4y = -133 + 147 - 3(x - 7)^2 . Primeiro, vamos isolar os termos de -2(y^2 + 2y) = 14 - 3(x - 7)^2 :
y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1
Simplificando:
-2[(y + 1)^2 - 1] = 14 - 3(x - 7)^2
Completa o quadrado dentro dos parênteses:
-2(y + 1)^2 + 2 = 14 - 3(x - 7)^2
Substituindo de volta:
Multiplicando o -2:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para deixar no formato padrão das cônicas:
-2(y + 1)^2 = 12 - 3(x - 7)^2
Dividindo todos os termos por 12 para simplificar:
(x - 7)^24 - (y + 1)^26 = 1
Essa é a equação padrão de uma hipérbole com o eixo principal na direção do .

Passo 6

Identificamos os parâmetros da hipérbole:
  • Centro:
  • então
  • então

Passo 7

Para esboçar a hipérbole:
  1. Marque o centro no ponto .
  2. Desenhe os eixos da hipérbole: horizontal com comprimento e vertical com comprimento .
  3. Trace as assimptotas usando a fórmula , que fica .
  4. Desenhe os ramos da hipérbole seguindo as assimptotas.

Resposta

A curva dada pela equação é uma hipérbole com centro em , e seu esboço apresenta ramos abertos horizontalmente seguindo as assimptotas .

Exercícios relacionados