Identificar e representar graficamente as superfícies ou curvas no
cujas as representações são dadas abaixo.(faça interseção com os planos coordenados)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado pede. Temos a equação
e precisamos identificar que tipo de superfície ou curva ela representa no espaço tridimensional (
). Para isso, vamos analisar como essa equação se comporta quando intersectamos com os planos coordenados:
,
e
. Vamos precisar dos conceitos de seções cônicas e suas representações gráficas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 8 para facilitar a visualização:
Essa forma nos ajuda a identificar melhor a natureza da superfície.
Passo 3
Vamos identificar a superfície observando os sinais e os coeficientes dos termos quadráticos:
-
e são positivos. -
é negativo.
Quando temos dois termos positivos e um negativo em uma equação quadrática no espaço, geralmente estamos lidando com um hiperboloide de duas folhas.
Passo 4
Para confirmar, vamos analisar as interseções com os planos coordenados.
Interseção com o plano xy (
):
Essa é a equação de uma elipse no plano xy.
Interseção com o plano xz (
):
Essa é a equação de uma hipérbole no plano xz.
Interseção com o plano yz (
):
Essa também é a equação de uma hipérbole no plano yz.
Passo 5
Agora que identificamos as interseções, podemos concluir que a superfície representada pela equação
é um hiperboloide de duas folhas. Essa superfície possui duas “folhas” que se abrem ao longo do eixo que corresponde ao termo negativo (
), e suas seções em diferentes planos mostram elipses e hipérboles conforme analisamos.
Resposta
A equação
representa um hiperboloide de duas folhas no espaço tridimensional (
). As interseções com os planos coordenados mostram uma elipse no plano xy e hipérboles nos planos xz e yz, confirmando a natureza do hiperboloide.
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Determine a equação e esboce a hipérbole: vértices
e
;
Identificar e representar graficamente as superfícies ou curvas no
cujas as representações são dadas abaixo.(faça interseção com os planos coordenados)
e
Esboce a curva dada pela equação:
Considere o espaço vetorial
. Seja
. Mostre que
é um subespaço vetorial de
.