Identificar e representar graficamente as superfícies ou curvas no R^3 cujas as representações são dadas abaixo.(faça interseção com os planos coordenados)
4 x^2+2 y^2-8 z^2=8

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado pede. Temos a equação e precisamos identificar que tipo de superfície ou curva ela representa no espaço tridimensional ( ). Para isso, vamos analisar como essa equação se comporta quando intersectamos com os planos coordenados: , e . Vamos precisar dos conceitos de seções cônicas e suas representações gráficas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 8 para facilitar a visualização:
4x^28 + 2y^28 - 8z^28 = 1 implies x^22 + y^24 - z^2 = 1
Essa forma nos ajuda a identificar melhor a natureza da superfície.

Passo 3

Vamos identificar a superfície observando os sinais e os coeficientes dos termos quadráticos:
  • e são positivos.
  • é negativo.
Quando temos dois termos positivos e um negativo em uma equação quadrática no espaço, geralmente estamos lidando com um hiperboloide de duas folhas.

Passo 4

Para confirmar, vamos analisar as interseções com os planos coordenados.
Interseção com o plano xy ( x^22 + y^24 = 1 ):
x^22 - z^2 = 1
Essa é a equação de uma elipse no plano xy.
Interseção com o plano xz ( y^24 - z^2 = 1 ):
Essa é a equação de uma hipérbole no plano xz.
Interseção com o plano yz ( ):
Essa também é a equação de uma hipérbole no plano yz.

Passo 5

Agora que identificamos as interseções, podemos concluir que a superfície representada pela equação é um hiperboloide de duas folhas. Essa superfície possui duas “folhas” que se abrem ao longo do eixo que corresponde ao termo negativo ( ), e suas seções em diferentes planos mostram elipses e hipérboles conforme analisamos.

Resposta

A equação representa um hiperboloide de duas folhas no espaço tridimensional ( ). As interseções com os planos coordenados mostram uma elipse no plano xy e hipérboles nos planos xz e yz, confirmando a natureza do hiperboloide.

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