Esboce a curva dada pela equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
. O objetivo aqui é esboçar a curva que essa equação representa. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre as cônicas (como elipses, hipérboles e parábolas). Vamos precisar completar o quadrado para reescrever a equação na forma padrão de uma cônica, o que vai facilitar o entendimento do formato da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e
juntos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
:
- Fatoramos o coeficiente de
:
- Completa o quadrado adicionando e subtraindo
:
Passo 4
Fazemos o mesmo para os termos de
:
- Fatoramos o coeficiente de
:
- Completa o quadrado adicionando e subtraindo
:
Passo 5
Substituímos de volta na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Isolamos os termos quadráticos:
Passo 7
Dividimos tudo por 400 para deixar a equação na forma padrão:
Passo 8
Identificamos o tipo de cônica. A equação está na forma:
Isso é uma hipérbole centrada no ponto
, com eixo vertical.
Passo 9
Para esboçar a hipérbole, identificamos:
- Centro:
-
(distância do centro aos vértices no eixo ) -
(relaciona-se aos coivertices no eixo ) - Assíntotas: linhas que a hipérbole se aproxima, dadas por
, ou seja,
Resposta
A curva é uma hipérbole centrada em
com vértices a 4 unidades acima e abaixo do centro, e assíntotas dadas por
. O esboço mostrará duas ramificações abrindo verticalmente em relação ao centro.
Exercícios relacionados
Esboce a curva dada pela equação:
Considere o espaço vetorial
. Seja
. Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Use uma translação dos eixos coordenados para a nova origem indicada.
Sabendo que
são bases de
. Determine: