Esboce a curva dada pela equação: 25 y^2-16 x^2-150 y-64 x-239=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . O objetivo aqui é esboçar a curva que essa equação representa. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre as cônicas (como elipses, hipérboles e parábolas). Vamos precisar completar o quadrado para reescrever a equação na forma padrão de uma cônica, o que vai facilitar o entendimento do formato da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de 25 y^2 - 150 y - 16 x^2 - 64 x = 239 e juntos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 25(y^2 - 6y) :
  1. Fatoramos o coeficiente de 25(y^2 - 6y + 9 - 9) = 25((y - 3)^2 - 9) = 25(y - 3)^2 - 225 :
  1. Completa o quadrado adicionando e subtraindo :

Passo 4

Fazemos o mesmo para os termos de -16(x^2 + 4x) :
  1. Fatoramos o coeficiente de -16(x^2 + 4x + 4 - 4) = -16((x + 2)^2 - 4) = -16(x + 2)^2 + 64 :
  1. Completa o quadrado adicionando e subtraindo :

Passo 5

Substituímos de volta na equação original:
25(y - 3)^2 - 225 - 16(x + 2)^2 + 64 = 239
Simplificando:
25(y - 3)^2 - 16(x + 2)^2 - 161 = 239

Passo 6

Isolamos os termos quadráticos:
25(y - 3)^2 - 16(x + 2)^2 = 400

Passo 7

Dividimos tudo por 400 para deixar a equação na forma padrão:
(y - 3)^216 - (x + 2)^225 = 1

Passo 8

Identificamos o tipo de cônica. A equação está na forma:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Isso é uma hipérbole centrada no ponto , com eixo vertical.

Passo 9

Para esboçar a hipérbole, identificamos:
  • Centro:
  • (distância do centro aos vértices no eixo )
  • (relaciona-se aos coivertices no eixo )
  • Assíntotas: linhas que a hipérbole se aproxima, dadas por , ou seja,

Resposta

A curva é uma hipérbole centrada em com vértices a 4 unidades acima e abaixo do centro, e assíntotas dadas por . O esboço mostrará duas ramificações abrindo verticalmente em relação ao centro.

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