Esboce a curva dada pela equação:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . O objetivo aqui é esboçar a curva que essa equação representa. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre as cônicas (como elipses, hipérboles e parábolas). Vamos precisar completar o quadrado para reescrever a equação na forma padrão de uma cônica, o que vai facilitar o entendimento do formato da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de e juntos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de :
  1. Fatoramos o coeficiente de :
  1. Completa o quadrado adicionando e subtraindo :

Passo 4

Fazemos o mesmo para os termos de :
  1. Fatoramos o coeficiente de :
  1. Completa o quadrado adicionando e subtraindo :

Passo 5

Substituímos de volta na equação original:
Simplificando:

Passo 6

Isolamos os termos quadráticos:

Passo 7

Dividimos tudo por 400 para deixar a equação na forma padrão:

Passo 8

Identificamos o tipo de cônica. A equação está na forma:
Isso é uma hipérbole centrada no ponto , com eixo vertical.

Passo 9

Para esboçar a hipérbole, identificamos:
  • Centro:
  • (distância do centro aos vértices no eixo )
  • (relaciona-se aos coivertices no eixo )
  • Assíntotas: linhas que a hipérbole se aproxima, dadas por , ou seja,

Resposta

A curva é uma hipérbole centrada em com vértices a 4 unidades acima e abaixo do centro, e assíntotas dadas por . O esboço mostrará duas ramificações abrindo verticalmente em relação ao centro.

Exercícios relacionados

Esboce a curva dada pela equação:
Considere o espaço vetorial . Seja . Mostre que é um subespaço vetorial de .
Use uma translação dos eixos coordenados para a nova origem indicada.
Sabendo que
são bases de . Determine: