Qual deve ser a relação entre
(o número de onda) e
(a frequência angular) para que estes campos satisfaçam as equações de Maxwell ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá os campos elétrico
e magnético
de uma onda eletromagnética e pede para encontrarmos a relação entre o número de onda
e a frequência angular
para que esses campos satisfaçam as equações de Maxwell.
Conteúdo da matéria: Ondas eletromagnéticas e as equações de Maxwell.
O que vamos precisar: As equações de Maxwell no vácuo e um pouco de cálculo para derivar as relações entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de Maxwell no vácuo. Elas são:
- Lei de Gauss para o campo elétrico:
- Lei de Gauss para o campo magnético:
- Lei de Faraday da indução:
- Lei de Ampère-Maxwell:
Onde
é a permeabilidade do vácuo e
é a permissividade do vácuo. Também sabemos que a velocidade da luz
está relacionada por
.
Passo 3
Vamos verificar se os campos dados satisfazem a Lei de Gauss para o campo elétrico. Olhando para o campo elétrico:
O divergente de
é:
Como
e
, e
não depende de
nem de
, temos:
Então, a primeira equação de Maxwell é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a Lei de Gauss para o campo magnético. Olhando para o campo magnético:
O divergente de
é:
Novamente,
e
, e
não depende de
, então:
Portanto, a segunda equação de Maxwell também é satisfeita.
Passo 5
Vamos agora para a Lei de Faraday da indu��ão:
Primeiro, calculamos o rotacional de
:
Como
e
, temos:
Agora, a derivada temporal de
:
Para que a igualdade seja válida, os componentes correspondentes devem ser iguais:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(assumindo que
e
):
Passo 6
Por último, vamos verificar a Lei de Ampère-Maxwell:
Primeiro, calculamos o rotacional de
:
Como
e
, temos:
Agora, a derivada temporal de
:
Para que a igualdade seja válida, os componentes correspondentes devem ser iguais:
Simplificando dividindo por
:
Sabemos que
, então:
Substituindo na equação:
Resposta
A relação entre o número de onda
e a frequência angular
para que os campos eletromagnéticos dados satisfaçam as equações de Maxwell é:
Exercícios relacionados
Para uma onda eletromagnética que se propaga no ar, determine a frequência de uma onda com um comprimento de onda de
Uma onda eletromagnética possui um campo magnético dado por
Escreva a equação vetorial para
.
Uma onda eletromagnética tem intensidade de
. Determine : a) a intensidade rms do campo elétrico;
Considere uma espaçonave percorrendo uma órbita elíptica em torno da Terra. Em seu ponto inferior, ou perigeu de sua órbita, ela está a uma altura de 400 km acima da superfície terrestre; em seu ponto superior, ou apogeu de sua órbita, ela está a uma altura de 4000 km acima da superfície terrestre,
a) Qual é o período da órbita da espaçonave?
a) Qual é o período da órbita da espaçonave?