Ex=0 ; Ey=E0 sin (k x+omega t) ; Ez=0 Bx=0 ; By=0 ; Bz=-(E0c) sin (k x+omega t)
Qual deve ser a relação entre k (o número de onda) e omega (a frequência angular) para que estes campos satisfaçam as equações de Maxwell ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá os campos elétrico e magnético de uma onda eletromagnética e pede para encontrarmos a relação entre o número de onda e a frequência angular para que esses campos satisfaçam as equações de Maxwell.
Conteúdo da matéria: Ondas eletromagnéticas e as equações de Maxwell.
O que vamos precisar: As equações de Maxwell no vácuo e um pouco de cálculo para derivar as relações entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de Maxwell no vácuo. Elas são:
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico: nabla cdot E = 0
  2. Lei de Gauss para o campo magnético: nabla cdot B = 0
  3. Lei de Faraday da indução: nabla times E = -partial Bpartial t
  4. Lei de Ampère-Maxwell: nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t
Onde é a permeabilidade do vácuo e é a permissividade do vácuo. Também sabemos que a velocidade da luz está relacionada por .

Passo 3

Vamos verificar se os campos dados satisfazem a Lei de Gauss para o campo elétrico. Olhando para o campo elétrico:
E = (0, E0 sin(kx + omega t), 0)
O divergente de nabla cdot E = partial Expartial x + partial Eypartial y + partial Ezpartial z é:
nabla cdot E = 0
Como e , e não depende de nem de , temos:
Então, a primeira equação de Maxwell é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a Lei de Gauss para o campo magnético. Olhando para o campo magnético:
B = (0, 0, -E0c sin(kx + omega t))
O divergente de nabla cdot B = partial Bxpartial x + partial Bypartial y + partial Bzpartial z é:
nabla cdot B = 0
Novamente, e , e não depende de , então:
Portanto, a segunda equação de Maxwell também é satisfeita.

Passo 5

Vamos agora para a Lei de Faraday da indu��ão:
nabla times E = -partial Bpartial t
Primeiro, calculamos o rotacional de nabla times E = ( partial Ezpartial y - partial Eypartial z, partial Expartial z - partial Ezpartial x, partial Eypartial x - partial Expartial y ) :
nabla times E = (0 - 0, 0 - 0, partial Eypartial x - 0) = (0, 0, E0 k cos(kx + omega t))
Como -partial Bpartial t = -(0, 0, -E0c omega cos(kx + omega t)) = (0, 0, E0 omegac cos(kx + omega t)) e E0 k cos(kx + omega t) = E0 omegac cos(kx + omega t) , temos:
k = omegac
Agora, a derivada temporal de :
Para que a igualdade seja válida, os componentes correspondentes devem ser iguais:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (assumindo que e ):

Passo 6

Por último, vamos verificar a Lei de Ampère-Maxwell:
nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t
Primeiro, calculamos o rotacional de nabla times B = ( partial Bzpartial y - partial Bypartial z, partial Bxpartial z - partial Bzpartial x, partial Bypartial x - partial Bxpartial y ) :
nabla times B = (0 - 0, 0 - (-E0c k cos(kx + omega t)), 0 - 0) = (0, E0 kc cos(kx + omega t), 0)
Como mu0 epsilon0 partial Epartial t = mu0 epsilon0 (0, E0 omega cos(kx + omega t), 0) e E0 kc cos(kx + omega t) = mu0 epsilon0 E0 omega cos(kx + omega t) , temos:
kc = mu0 epsilon0 omega
Agora, a derivada temporal de mu0 epsilon0 = 1c^2 :
kc = omegac^2 implies k = omegac
Para que a igualdade seja válida, os componentes correspondentes devem ser iguais:
Simplificando dividindo por :
Sabemos que , então:
Substituindo na equação:

Resposta

A relação entre o número de onda k = omegac e a frequência angular para que os campos eletromagnéticos dados satisfaçam as equações de Maxwell é:

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