Qual deve ser a relação entre (o número de onda) e (a frequência angular) para que estes campos satisfaçam as equações de Maxwell ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá os campos elétrico e magnético de uma onda eletromagnética e pede para encontrarmos a relação entre o número de onda e a frequência angular para que esses campos satisfaçam as equações de Maxwell.
Conteúdo da matéria: Ondas eletromagnéticas e as equações de Maxwell.
O que vamos precisar: As equações de Maxwell no vácuo e um pouco de cálculo para derivar as relações entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de Maxwell no vácuo. Elas são:
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico:
  2. Lei de Gauss para o campo magnético:
  3. Lei de Faraday da indução:
  4. Lei de Ampère-Maxwell:
Onde é a permeabilidade do vácuo e é a permissividade do vácuo. Também sabemos que a velocidade da luz está relacionada por .

Passo 3

Vamos verificar se os campos dados satisfazem a Lei de Gauss para o campo elétrico. Olhando para o campo elétrico:
O divergente de é:
Como e , e não depende de nem de , temos:
Então, a primeira equação de Maxwell é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a Lei de Gauss para o campo magnético. Olhando para o campo magnético:
O divergente de é:
Novamente, e , e não depende de , então:
Portanto, a segunda equação de Maxwell também é satisfeita.

Passo 5

Vamos agora para a Lei de Faraday da indu��ão:
Primeiro, calculamos o rotacional de :
Como e , temos:
Agora, a derivada temporal de :
Para que a igualdade seja válida, os componentes correspondentes devem ser iguais:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (assumindo que e ):

Passo 6

Por último, vamos verificar a Lei de Ampère-Maxwell:
Primeiro, calculamos o rotacional de :
Como e , temos:
Agora, a derivada temporal de :
Para que a igualdade seja válida, os componentes correspondentes devem ser iguais:
Simplificando dividindo por :
Sabemos que , então:
Substituindo na equação:

Resposta

A relação entre o número de onda e a frequência angular para que os campos eletromagnéticos dados satisfaçam as equações de Maxwell é:

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