A molécula de metano possui um átomo de carbono e 4 de hidrogênio. Suponha que os átomos de hidrogênio estejam localizados nos pontos do espaço tridimensional e enquanto que o átomo de carbono esteja no ponto .
Encontre o cosseno do ângulo entre dois segmentos de reta que partem do átomo de carbono e se direcionam a dois átomos de hidrogênio diferentes. Lembre-se de que o ângulo entre dois vetores não nulos do ( e ) é definido por:
,
onde é o produto interno entre e e é a norma do vetor qualquer.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a molécula de metano (CH₄), que tem um átomo de carbono e quatro de hidrogênio. A gente precisa calcular o cosseno do ângulo entre dois segmentos de reta que partem do átomo de carbono e vão para dois hidrogênios diferentes. Para isso, vamos usar vetores no espaço tridimensional e aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos átomos. O átomo de carbono está no ponto e os hidrogênios estão nos pontos , , e .

Passo 3

Vamos escolher dois hidrogênios para calcular o ângulo entre eles. Vamos pegar, por exemplo, os hidrogênios em e . Agora, precisamos encontrar os vetores que vão do carbono para cada um desses hidrogênios.

Passo 4

Para encontrar o vetor que vai do carbono para o hidrogênio em , subtraímos as coordenadas do carbono das coordenadas do hidrogênio:

Passo 5

Fazendo o mesmo para o hidrogênio em :

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto interno (ou produto escalar) entre os vetores e :

Passo 7

Vamos calcular agora as normas (ou comprimentos) dos vetores e :

Passo 8

Agora, vamos aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre os vetores:

Resposta

O cosseno do ângulo entre os dois segmentos de reta é .

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Efetuar
Considere os espaços vetoriais dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçāo de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda se é subespaço vetorial de e prove que sua resposta está correta:
(a)
Escreva a equação reduzida da reta que passa pelos pontos:
Sabendo-se que e , calcule: ;