A molécula de metano
possui um átomo de carbono e 4 de hidrogênio. Suponha que os átomos de hidrogênio estejam localizados nos pontos do espaço tridimensional
e
enquanto que o átomo de carbono esteja no ponto
.
Encontre o cosseno do ângulo entre dois segmentos de reta que partem do átomo de carbono e se direcionam a dois átomos de hidrogênio diferentes. Lembre-se de que o ângulo
entre dois vetores não nulos do
(
e
) é definido por:
,
onde
é o produto interno entre
e
e
é a norma do vetor
qualquer.
Encontre o cosseno do ângulo entre dois segmentos de reta que partem do átomo de carbono e se direcionam a dois átomos de hidrogênio diferentes. Lembre-se de que o ângulo
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a molécula de metano (CH₄), que tem um átomo de carbono e quatro de hidrogênio. A gente precisa calcular o cosseno do ângulo entre dois segmentos de reta que partem do átomo de carbono e vão para dois hidrogênios diferentes. Para isso, vamos usar vetores no espaço tridimensional e aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos átomos. O átomo de carbono está no ponto
e os hidrogênios estão nos pontos
,
,
e
.
Passo 3
Vamos escolher dois hidrogênios para calcular o ângulo entre eles. Vamos pegar, por exemplo, os hidrogênios em
e
. Agora, precisamos encontrar os vetores que vão do carbono para cada um desses hidrogênios.
Passo 4
Para encontrar o vetor que vai do carbono para o hidrogênio em
, subtraímos as coordenadas do carbono das coordenadas do hidrogênio:
Passo 5
Fazendo o mesmo para o hidrogênio em
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto interno (ou produto escalar) entre os vetores
e
:
Passo 7
Vamos calcular agora as normas (ou comprimentos) dos vetores
e
:
Passo 8
Agora, vamos aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre os vetores:
Resposta
O cosseno do ângulo entre os dois segmentos de reta é
.
Exercícios relacionados
Efetuar
Considere os espaços vetoriais
dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçāo de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda se
é subespaço vetorial de
e prove que sua resposta está correta:
(a)
(a)
Escreva a equação reduzida da reta que passa pelos pontos:
Sabendo-se que
e
, calcule:
;