A molécula de metano (CH 4) possui um átomo de carbono e 4 de hidrogênio. Suponha que os átomos de hidrogênio estejam localizados nos pontos do espaço tridimensional (0,0,0),(1,1,0),(0,1,1) e (1,0,1) enquanto que o átomo de carbono esteja no ponto (1 / 2,1 / 2,1 / 2).
Encontre o cosseno do ângulo entre dois segmentos de reta que partem do átomo de carbono e se direcionam a dois átomos de hidrogênio diferentes. Lembre-se de que o ângulo ang<=(x, y) entre dois vetores não nulos do R^n ( x e y ) é definido por:
ang<=(x, y)=arccos lang<=x yrang<=|x||y|,
onde lang<=x, yrang<= é o produto interno entre x e y e |z| é a norma do vetor z qualquer.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a molécula de metano (CH₄), que tem um átomo de carbono e quatro de hidrogênio. A gente precisa calcular o cosseno do ângulo entre dois segmentos de reta que partem do átomo de carbono e vão para dois hidrogênios diferentes. Para isso, vamos usar vetores no espaço tridimensional e aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos átomos. O átomo de carbono está no ponto e os hidrogênios estão nos pontos , , e .

Passo 3

Vamos escolher dois hidrogênios para calcular o ângulo entre eles. Vamos pegar, por exemplo, os hidrogênios em e . Agora, precisamos encontrar os vetores que vão do carbono para cada um desses hidrogênios.

Passo 4

Para encontrar o vetor que vai do carbono para o hidrogênio em u = (0 - 12, 0 - 12, 0 - 12) = ( -12, -12, -12 ) , subtraímos as coordenadas do carbono das coordenadas do hidrogênio:

Passo 5

Fazendo o mesmo para o hidrogênio em v = (1 - 12, 1 - 12, 0 - 12) = ( 12, 12, -12 ) :

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto interno (ou produto escalar) entre os vetores lang<= u, v rang<= = ( -12 times 12 ) + ( -12 times 12 ) + ( -12 times -12 ) = -14 - 14 + 14 = -14 e :

Passo 7

Vamos calcular agora as normas (ou comprimentos) dos vetores | u | = raiz ( -12 )^2 + ( -12 )^2 + ( -12 )^2 = raiz 14 + 14 + 14 = raiz 34 = raiz32 e | v | = raiz ( 12 )^2 + ( 12 )^2 + ( -12 )^2 = raiz 14 + 14 + 14 = raiz 34 = raiz32 :

Passo 8

Agora, vamos aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre os vetores:
cos(theta) = lang<= u, v rang<= | u | | v | = -14 ( raiz32 ) ( raiz32 ) = -14 34 = -13

Resposta

O cosseno do ângulo entre os dois segmentos de reta é .

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