Considere os espaços vetoriais
dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçào de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda (justificando) se o subconjunto dado
é LI (linearmente independente) ou LD (linearmente dependente).
Se
for
, obtenha uma base (prove)
de
que contenha
.
Se
for LD, obtenha uma base para
(subespaço gerado por
),
e responda se
(a)
Se
Se
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD) no espaço vetorial
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e verificar se os vetores de
se relacionam de maneira independente ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos
, então necessariamente
.
Passo 3
Vamos aplicar isso aos vetores de
. Seja
e
. Queremos ver se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor nulo, além da trivial onde todos os coeficientes são zero.
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Vamos simplificar esse sistema. Observamos que a terceira equação é
, que não nos dá informação nova. Portanto, temos:
-
\ -
\ -
Passo 5
Da primeira e terceira equação, vemos que
. Substituindo isso na segunda equação:
Então,
também.
Passo 6
Como a única solução para o sistema é
, isso significa que os vetores
e
são linearmente independentes (LI).
Passo 7
Agora, como
é LI e está dentro de
, podemos estender
para formar uma base para
. Isso significa encontrar mais dois vetores que, junto com
e
, formam um conjunto de vetores que são LI e que geram todo o espaço
.
Passo 8
Por exemplo, podemos escolher os vetores
e
. Verificamos que esses vetores não podem ser escritos como combinações lineares dos vetores de
, garantindo que o conjunto
seja LI e, portanto, uma base para
.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente (LI). Uma base para
que contém
é
.
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Encontre a forma reduzida e a inclinação
da reta
dada pela equação geral:
Sabendo-se que
e
, calcule:
;
Sabendo-se que
e
, calcule:
;
Dada a equação paramétrica da reta encontre sua forma geral