Considere os espaços vetoriais V dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçào de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda (justificando) se o subconjunto dado S subset V é LI (linearmente independente) ou LD (linearmente dependente).
Se S for LI, obtenha uma base (prove) beta de V que contenha S.
Se S for LD, obtenha uma base para W=[S] (subespaço gerado por S ), dim W e responda se W=V
(a) S=(1,3,0,1),(-1,1,0,-1) subset R^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto é linearmente independente (LI) ou dependente (LD) no espaço vetorial . Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e verificar se os vetores de se relacionam de maneira independente ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos , então necessariamente .

Passo 3

Vamos aplicar isso aos vetores de c1 cdot 1 + c2 cdot (-1) = 0 c1 cdot 3 + c2 cdot 1 = 0 c1 cdot 0 + c2 cdot 0 = 0 c1 cdot 1 + c2 cdot (-1) = 0 . Seja e . Queremos ver se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor nulo, além da trivial onde todos os coeficientes são zero.
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Vamos simplificar esse sistema. Observamos que a terceira equação é , que não nos dá informação nova. Portanto, temos:
  1. \
  2. \

Passo 5

Da primeira e terceira equação, vemos que 3c1 + c1 = 0 4c1 = 0 c1 = 0 . Substituindo isso na segunda equação:
Então, também.

Passo 6

Como a única solução para o sistema é , isso significa que os vetores e são linearmente independentes (LI).

Passo 7

Agora, como é LI e está dentro de , podemos estender para formar uma base para . Isso significa encontrar mais dois vetores que, junto com e , formam um conjunto de vetores que são LI e que geram todo o espaço .

Passo 8

Por exemplo, podemos escolher os vetores e . Verificamos que esses vetores não podem ser escritos como combinações lineares dos vetores de , garantindo que o conjunto seja LI e, portanto, uma base para .

Resposta

O conjunto é linearmente independente (LI). Uma base para que contém é .

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