Integrate
from 0 to
4)/
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos calcular a integral de
em relação a
, no intervalo de 0 a
. Esse tipo de integral está relacionado a funções especiais como a função gamma e a função zeta de Riemann. Para resolvê-la, vamos utilizar a expansão em série e propriedades dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o denominador
em uma série geométrica. Sabemos que:
Isso transforma a integral em uma soma infinita de integrais mais simples.
Passo 3
Agora, substituímos a expansão na integral original:
Trocamos a ordem da soma e da integração porque a série converge uniformemente.
Passo 4
Vamos calcular a integral
. Sabemos que:
Onde
é a função gamma, que generaliza o fatorial. Para
e
:
Porque
.
Passo 5
Substituímos o resultado na soma:
Reconhecemos que a soma
é a definição da função zeta de Riemann para
, ou seja,
.
Passo 6
Sabemos que
. Então:
Resposta
A integral
é igual a
.