Integrate (x^wed>= 3) /(e^wed>= x-1) d x from 0 to infty=(pi^wed>= 4)/ / 15

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos calcular a integral de em relação a , no intervalo de 0 a . Esse tipo de integral está relacionado a funções especiais como a função gamma e a função zeta de Riemann. Para resolvê-la, vamos utilizar a expansão em série e propriedades dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o denominador 1e^x - 1 = e^-x1 - e^-x = sumn=1^infty e^-n x em uma série geométrica. Sabemos que:
Isso transforma a integral em uma soma infinita de integrais mais simples.

Passo 3

Agora, substituímos a expansão na integral original:
integral0^infty x^3e^x - 1 dx = integral0^infty x^3 sumn=1^infty e^-n x dx = sumn=1^infty integral0^infty x^3 e^-n x dx
Trocamos a ordem da soma e da integração porque a série converge uniformemente.

Passo 4

Vamos calcular a integral integral0^infty x^k e^-a x dx = Gamma(k+1)a^k+1 . Sabemos que:
integral0^infty x^3 e^-n x dx = Gamma(4)n^4 = 6n^4
Onde é a função gamma, que generaliza o fatorial. Para e :
Porque .

Passo 5

Substituímos o resultado na soma:
sumn=1^infty 6n^4 = 6 sumn=1^infty 1n^4
Reconhecemos que a soma é a definição da função zeta de Riemann para , ou seja, .

Passo 6

Sabemos que 6 zeta(4) = 6 times pi^490 = pi^415 . Então:

Resposta

A integral é igual a .

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