Considere uma espira circular de raio R percorrida por uma corrente I. Calcule o vetor campo magnético produzido pela espira no centro da espira
l R=0,5 m I=2,0 m d B=mu04 pi I k cdot rr^2
B=integral d B
mu0=4 pi cdot 10^-7 N / A^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma espira circular com raio R = 0,5, m e uma corrente elétrica de I = 2,0, A passando por ela. Nosso objetivo é descobrir qual é o vetor campo magnético B que essa espira gera no seu centro. Para isso, vamos usar conceitos de magnetismo, especificamente a Lei de Biot-Savart, que relaciona corrente elétrica e campo magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que descreve o campo magnético gerado por um elemento de corrente. A expressão dada é:
dB = mu04pi I k cdot rr^2
Aqui, mu0 é a permeabilidade do vácuo, I é a corrente, k é o vetor unitário na direção do eixo z (assumindo que a espira está no plano xy), r é o vetor unitário que aponta do elemento de corrente até o ponto onde estamos calculando o campo (no caso, o centro da espira), e r é a distância entre eles.
No caso do centro da espira, todos os vetores r apontam radialmente para o centro, e a distância r é igual ao raio R da espira.

Passo 3

Vamos integrar a contribuição de todos os elementos de corrente ao redor da espira para encontrar o campo magnético total no centro. A expressão para o campo magnético total é:
B = integral dB
Substituindo a expressão de dB na integral, temos:
B = integral mu04pi I k cdot rR^2 , dl
Como o campo magnético gerado por cada elemento de corrente no centro da espira aponta na mesma direção (ao longo do eixo z), podemos simplificar a integral considerando apenas a soma das contribuições na direção k.

Passo 4

Percebemos que a integral ao redor da espira circular é simplesmente o comprimento total da espira, que é a circunferência 2pi R. Assim, a expressão do campo magnético fica:
B = mu0 I4pi R^2 cdot 2pi R cdot k
Simplificando os termos:
B = mu0 I2 R cdot k

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores numéricos na fórmula:
mu0 = 4pi times 10^-7, N/A^2, I = 2,0, A, R = 0,5, m
Substituindo na equação:
B = 4pi times 10^-7 times 2,02 times 0,5

Passo 6

Simplificando os cálculos:
B = 8pi times 10^-71 = 8pi times 10^-7, T
Calculando o valor numérico:
B approx 2,513 times 10^-6, T

Resposta

O vetor campo magnético produzido pela espira no centro é aproximadamente 2,51 times 10^-6, T na direção do eixo z.

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