Considere uma espira condutora retangular C com lados a e b, localizada no plano (x, y) entre dois fios paralelos 1 e 2 como indicado na figura. A espira fica a distancia d de cada fio. Os fios 1 e 2 têm corrente I1 e I2 com sentido dos x positivos conforme a figura. Escolhemos o elemento de área de C apontando na direção dos z positivos.
Assumindo I1(t)=I0,1 cos (omega t) e I2(t)=I0,2 cos (omega t+varphi), calcule a f.e.m. induzida na espira. O que acontece se I0,1=I0,2 e varphi=0 ? Por qual valor de varphi a corrente induzida é máxima?

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre indução eletromagnética. Temos uma espira retangular localizada entre dois fios paralelos que transportam correntes elétricas variáveis no tempo. Precisamos calcular a força eletromotriz (f.e.m.) induzida na espira devido a essas correntes. Para isso, vamos usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, que relaciona a variação do fluxo magnético através da espira com a f.e.m. induzida.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar o campo magnético gerado por cada fio na região onde está a espira. O campo magnético produzido por um fio infinito com corrente B = mu0 I2pi r a uma distância é dado por:
onde é a permeabilidade do vácuo.

Passo 3

Como temos dois fios, 1 e 2, com correntes Btotal(t) = mu0 I1(t)2pi d - mu0 I2(t)2pi (d + b) e Btotal(t) approx mu02pi d [I1(t) - I2(t)] , o campo magnético total na espira será a soma dos campos produzidos por cada fio. Como os campos têm sentidos opostos devido às direções das correntes, a contribuição total será:
Assumindo que é pequeno comparado a , podemos simplificar para:

Passo 4

Com as correntes variando no tempo dadas por:
I1(t) = I0,1 cos (omega t)
I2(t) = I0,2 cos (omega t + varphi)
Substituindo na expressão de Btotal(t) = mu02pi d [I0,1 cos (omega t) - I0,2 cos (omega t + varphi)] :

Passo 5

Agora, calculamos o fluxo magnético Phi(t) = Btotal(t) cdot A = mu0 a b2pi d [I0,1 cos (omega t) - I0,2 cos (omega t + varphi)] através da espira, que é o produto do campo magnético pela área :

Passo 6

A f.e.m. induzida E = -dPhi(t)dt é dada pela derivada negativa do fluxo magnético em relação ao tempo, segundo a Lei de Faraday:
E = -mu0 a b2pi d [-I0,1 omega sin (omega t) + I0,2 omega sin (omega t + varphi)]
Derivando:
E = mu0 a b omega2pi d [I0,1 sin (omega t) - I0,2 sin (omega t + varphi)]
Simplificando:

Passo 7

Agora, analisamos os casos pedidos:
  1. Se E = mu0 a b omega I0,12pi d [sin (omega t) - sin (omega t)] = 0 e :
Então, a f.e.m. induzida é zero.
  1. Para qual valor de a corrente induzida é máxima:
A f.e.m. depende da diferença dos senos: .
A amplitude dessa expressão é máxima quando a diferença for máxima, o que ocorre quando . Assim, para , a corrente induzida é máxima.

Resposta

A f.e.m. induzida na espira é dada por:
E = mu0 a b omega2pi d [ I0,1 sin (omega t) - I0,2 sin (omega t + varphi) ]
Se e , a f.e.m. induzida é zero.
A corrente induzida é máxima quando .

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