O elétron em um átomo de hidrogênio ocupa o estado combinado de posição e spin
(a) Se medirmos o momentum angular orbital ao quadrado (
), que valores poderíamos obter, e qual é a probabilidade de cada um?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um elétron no átomo de hidrogênio que está em um estado combinado de posição e spin, representado pela expressão:
Nossa missão aqui é descobrir quais valores podemos obter ao medir o momento angular orbital ao quadrado, $ L^{2} $, e qual a probabilidade de cada resultado.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de mecânica quântica, como estados quânticos, operadores observáveis e o que significa medir um operador em um estado combinado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, em mecânica quântica, o momento angular orbital ao quadrado, $ L^{2} $, é um operador que tem certos valores próprios possíveis. Esses valores são dados por:
onde $ l $ é o número quântico orbital e $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.
No nosso caso, os termos $ Y_{1}^{0} $ e $ Y_{1}^{1} $ são funções harmônicas esféricas que correspondem a estados com número quântico orbital $ l = 1 $. Isso já nos dá uma dica importante sobre os possíveis valores de $ L^{2} $.
Passo 3
Agora, como o elétron está em uma combinação linear desses dois estados ($ Y_{1}^{0} $ e $ Y_{1}^{1} $), quando medimos $ L^{2} $, estamos na verdade projetando esse estado sobre os autovalores de $ L^{2} $.
Como ambos os estados na combinação têm $ l = 1 $, o valor de $ L^{2} $ será:
Isso significa que, ao medir $ L^{2} $, só vamos obter esse valor específico.
Passo 4
Quanto à probabilidade de obter esse valor, como ambos os termos na combinação têm o mesmo valor de $ l $, a probabilidade é simplesmente a soma dos quadrados dos coeficientes que acompanham esses estados.
Os coeficientes são $ \sqrt{\frac{1}{3}} $ e $ \sqrt{\frac{2}{3}} $. Então, a probabilidade $ P $ de medir $ L^{2} = 2\hbar^{2} $ é:
Ou seja, temos 100% de chance de obter esse valor ao medir $ L^{2} $.
Resposta
Ao medir $ L^{2} $, apenas o valor $ 2\hbar^{2} $ pode ser obtido, com probabilidade de 100%.