Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg cada, cujas posições em função do tempo são dadas pelos vetores r1=(4 t, t^2, 0), r2=(2 t, t^4, 0).
g) Calcule a quantidade de movimento total do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema com duas partículas, cada uma com massa de 2 kg. As posições das partículas em função do tempo são dadas por:
r1 = (4t, t^2, 0) e r2 = (2t, t^4, 0)
O objetivo aqui é calcular a quantidade de movimento total do sistema. Para isso, vamos precisar entender o que é quantidade de movimento (ou momentum) e como calculá-la a partir das posições das partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a quantidade de movimento p de uma partícula é dada pela fórmula:
p = m v
onde m é a massa da partícula e v é a sua velocidade.

Passo 3

Como a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, vamos calcular a velocidade de cada partícula derivando suas posições:
Para a primeira partícula:
v1 = dr1dt = ( ddt(4t), ddt(t^2), ddt(0) ) = (4, 2t, 0)
Para a segunda partícula:
v2 = dr2dt = ( ddt(2t), ddt(t^4), ddt(0) ) = (2, 4t^3, 0)

Passo 4

Agora que temos as velocidades, vamos calcular a quantidade de movimento de cada partícula usando p = m v:
Para a primeira partícula:
p1 = 2 times (4, 2t, 0) = (8, 4t, 0)
Para a segunda partícula:
p2 = 2 times (2, 4t^3, 0) = (4, 8t^3, 0)

Passo 5

A quantidade de movimento total do sistema é a soma das quantidades de movimento das duas partículas:
ptotal = p1 + p2 = (8 + 4, 4t + 8t^3, 0 + 0) = (12, 4t + 8t^3, 0)

Resposta

A quantidade de movimento total do sistema é ptotal = (12, 4t + 8t^3, 0) kg·m/s.

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