Considere uma espira quadrada com resistência R e lados ell que está contida no plano x y e tem velocidade v na direção +x. Considere que em t=De, a espira já penetra uma distância De na região com um campo magnético, sendo que De. O campo magnético da região é dado por B=By y+Bz z, onde By e Bz são constantes.
Qual é o valor e sentido da força magnética que aparece no circuito?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma espira quadrada com resistência e lados de comprimento . Essa espira está no plano e se move com velocidade na direção positiva do eixo . No tempo , a espira penetrou uma distância na região com um campo magnético , onde e são constantes. Precisamos descobrir qual é o valor e a direção da força magnética que aparece no circuito.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de força magnética em condutores em movimento e Lei de Faraday da Indução Eletromagnética. Vamos precisar calcular a força devido ao campo magnético nas partes da espira que estão dentro da região com campo magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando um condutor se move em um campo magnético, uma força é induzida sobre os elétrons no condutor. Essa força pode criar uma corrente elétrica no circuito se houver um caminho fechado, como no caso da nossa espira.
A força magnética F = I L times B sobre um segmento de condutor é dada por:
onde:
  • é a corrente no condutor,
  • é o vetor comprimento do condutor,
  • é o campo magnético.

Passo 3

Para encontrar a corrente E = -De na espira, usamos a Lei de Faraday, que relaciona a variação do fluxo magnético com a força eletromotriz (fem) induzida:
Phi = integral B cdot dA
onde:
  • De é a fem induzida,
  • é a variação do fluxo magnético,
  • é o intervalo de tempo.
O fluxo magnético é dado por:
No nosso caso, como e são constantes e a espira está entrando uniformemente no campo, podemos simplificar para:
onde é a área que a espira penetrou no campo.

Passo 4

A área De que a espira penetrou no campo em tempo De é:
De
Aqui, é o lado da espira e é a distância que ela avançou no campo magnético.
Substituindo na expressão do fluxo:
onde é a direção perpendicular à área penetrada. Como a espira está no plano e se move em , a direção de será no eixo , assim .
Portanto:

Passo 5

Agora, aplicando a Lei de Faraday:
E = -De
Como E = -Bz ell v De, onde é a velocidade, substituímos:

Passo 6

A corrente I = ER = -Bz ell vR na espira é dada pela relação entre a fem e a resistência:
O sinal negativo indica a direção da corrente, mas vamos focar no valor absoluto para calcular a força.

Passo 7

Agora, vamos calcular a força magnética em cada segmento da espira que está dentro do campo magnético. A espira é quadrada, então temos quatro lados. Apenas dois lados estarão dentro do campo magnético durante a penetração: um perpendicular à direção do movimento e outro paralelo.
Para os lados paralelos ao movimento ( F = I ell Bz -direção), a força será zero porque é paralelo a e, portanto, o produto vetorial será zero.
Para os lados perpendiculares ao movimento ( -direção), a força será:

Passo 8

Substituindo a corrente F = ( Bz ell vR ) ell Bz = Bz^2 ell^2 vR que encontramos:
A direção da força pode ser determinada pela regra da mão direita. Como a corrente circula na espira e o campo está em , a força resultante será na direção oposta ao movimento, ou seja, na direção negativa de .

Resposta

A força magnética no circuito tem módulo e atua na direção oposta ao movimento da espira, ou seja, na direção negativa de .

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