Considere uma espira quadrada com resistência
e lados
que está contida no plano
e tem velocidade
na direção
. Considere que em
, a espira já penetra uma distância
na região com um campo magnético, sendo que
. O campo magnético da região é dado por
, onde
e
são constantes.
Qual é o valor e sentido da força magnética que aparece no circuito?
Qual é o valor e sentido da força magnética que aparece no circuito?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma espira quadrada com resistência
e lados de comprimento
. Essa espira está no plano
e se move com velocidade
na direção positiva do eixo
. No tempo
, a espira penetrou uma distância
na região com um campo magnético
, onde
e
são constantes. Precisamos descobrir qual é o valor e a direção da força magnética que aparece no circuito.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de força magnética em condutores em movimento e Lei de Faraday da Indução Eletromagnética. Vamos precisar calcular a força devido ao campo magnético nas partes da espira que estão dentro da região com campo magnético.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando um condutor se move em um campo magnético, uma força é induzida sobre os elétrons no condutor. Essa força pode criar uma corrente elétrica no circuito se houver um caminho fechado, como no caso da nossa espira.
A força magnética
sobre um segmento de condutor é dada por:
onde:
-
é a corrente no condutor, -
é o vetor comprimento do condutor, -
é o campo magnético.
Passo 3
Para encontrar a corrente
na espira, usamos a Lei de Faraday, que relaciona a variação do fluxo magnético com a força eletromotriz (fem) induzida:
onde:
-
é a fem induzida, -
é a variação do fluxo magnético, -
é o intervalo de tempo.
O fluxo magnético
é dado por:
No nosso caso, como
e
são constantes e a espira está entrando uniformemente no campo, podemos simplificar para:
onde
é a área que a espira penetrou no campo.
Passo 4
A área
que a espira penetrou no campo em tempo
é:
Aqui,
é o lado da espira e
é a distância que ela avançou no campo magnético.
Substituindo na expressão do fluxo:
onde
é a direção perpendicular à área penetrada. Como a espira está no plano
e se move em
, a direção de
será no eixo
, assim
.
Portanto:
Passo 5
Agora, aplicando a Lei de Faraday:
Como
, onde
é a velocidade, substituímos:
Passo 6
A corrente
na espira é dada pela relação entre a fem e a resistência:
O sinal negativo indica a direção da corrente, mas vamos focar no valor absoluto para calcular a força.
Passo 7
Agora, vamos calcular a força magnética em cada segmento da espira que está dentro do campo magnético. A espira é quadrada, então temos quatro lados. Apenas dois lados estarão dentro do campo magnético durante a penetração: um perpendicular à direção do movimento e outro paralelo.
Para os lados paralelos ao movimento (
-direção), a força será zero porque
é paralelo a
e, portanto, o produto vetorial
será zero.
Para os lados perpendiculares ao movimento (
-direção), a força será:
Passo 8
Substituindo a corrente
que encontramos:
A direção da força pode ser determinada pela regra da mão direita. Como a corrente circula na espira e o campo está em
, a força resultante será na direção oposta ao movimento, ou seja, na direção negativa de
.
Resposta
A força magnética no circuito tem módulo
e atua na direção oposta ao movimento da espira, ou seja, na direção negativa de
.
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