Considere um estado geral de tensões, representado pelo tensor abaixo. Determine:
a) As tensões principais e os autovetores que indicam as direções principais;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre tensões principais em um tensor de tensões. A gente vai trabalhar com álgebra linear, especificamente encontrando os autovalores e autovetores desse tensor. O objetivo é descobrir quais são as tensões principais e as direções associadas a elas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que as tensões principais são os autovalores do tensor de tensões. Ou seja, vamos encontrar os valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz e igualamos a zero:
Passo 4
Calculando o determinante:
Portanto, temos a equação característica:
Passo 5
Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de (autovalores).
Após resolver a equação, encontramos os seguintes autovalores:
Passo 6
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Isso nos dará as direções principais.
Para :
Resolvendo , encontramos o autovetor:
Para :
Resolvendo , encontramos o autovetor:
Para :
Resolvendo , encontramos o autovetor:
Resposta
As tensões principais são , e . As direções principais correspondentes são dadas pelos autovetores: