Considere um estado geral de tensões, representado pelo tensor abaixo. Determine:
a) As tensões principais e os autovetores que indicam as direções principais;
underlinesigma=[ccc 13 & 13 & 0 13 & 26 & -13 0 & -13 & -39 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre tensões principais em um tensor de tensões. A gente vai trabalhar com álgebra linear, especificamente encontrando os autovalores e autovetores desse tensor. O objetivo é descobrir quais são as tensões principais e as direções associadas a elas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que as tensões principais são os autovalores do tensor de tensões. Ou seja, vamos encontrar os valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz underlinesigma - lambda underlineI = 13 - lambda & 13 & 0 13 & 26 - lambda & -13 0 & -13 & -39 - lambda :
det(underlinesigma - lambda underlineI) = 0
Agora, calculamos o determinante dessa matriz e igualamos a zero:

Passo 4

Calculando o determinante:
det(underlinesigma - lambda underlineI) &= (13 - lambda)[(26 - lambda)(-39 - lambda) - (-13)(-13)] & - 13[13(-39 - lambda) - (-13)(0)] &= (13 - lambda)[(26 - lambda)(-39 - lambda) - 169] - 13[-507 -13lambda] &= -lambda^3 + 1521lambda - 8788 &= 0
Portanto, temos a equação característica:
lambda^3 - 1521lambda + 8788 = 0

Passo 5

Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de lambda1 = 39, lambda2 = 13, lambda3 = -52 (autovalores).
Após resolver a equação, encontramos os seguintes autovalores:

Passo 6

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada v1 = 1 1 0 . Isso nos dará as direções principais.
Para v2 = 0 0 1 :
Resolvendo v3 = 1 -1 1 , encontramos o autovetor:
Para :
Resolvendo , encontramos o autovetor:
Para :
Resolvendo , encontramos o autovetor:

Resposta

As tensões principais são v1 = 1 1 0 , v2 = 0 0 1 , v3 = 1 -1 1 , e . As direções principais correspondentes são dadas pelos autovetores:

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