Considere um estado geral de tensões, representado pelo tensor abaixo. Determine:
a) As tensões principais e os autovetores que indicam as direções principais;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre tensões principais em um tensor de tensões. A gente vai trabalhar com álgebra linear, especificamente encontrando os autovalores e autovetores desse tensor. O objetivo é descobrir quais são as tensões principais e as direções associadas a elas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que as tensões principais são os autovalores do tensor de tensões. Ou seja, vamos encontrar os valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz e igualamos a zero:

Passo 4

Calculando o determinante:
Portanto, temos a equação característica:

Passo 5

Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de (autovalores).
Após resolver a equação, encontramos os seguintes autovalores:

Passo 6

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Isso nos dará as direções principais.
Para :
Resolvendo , encontramos o autovetor:
Para :
Resolvendo , encontramos o autovetor:
Para :
Resolvendo , encontramos o autovetor:

Resposta

As tensões principais são , e . As direções principais correspondentes são dadas pelos autovetores:

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