Um passageiro corre à sua velocidade máxima de 7
para pegar um trem. Quando está a distância
da porta de entrada, o trem começa a se movimentar com aceleração igual a
, afastando-se
Qual a velocidade média do trem no intervalo de tempo de
até o instante em que o passageiro consegue alcança-lo?
Qual a velocidade média do trem no intervalo de tempo de
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um passageiro que está correndo na velocidade máxima de 7
para pegar um trem. Quando ele está a uma distância
da porta de entrada, o trem começa a se movimentar com uma aceleração de
, ou seja, está indo ficando mais rápido. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi a velocidade média do trem desde o momento que ele começou a se mover (
) até o instante em que o passageiro consegue alcançá-lo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) e velocidade média.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o movimento do trem funciona. Como ele está acelerando, sua velocidade aumenta com o tempo. A fórmula para a velocidade do trem em qualquer instante
é:
onde
.
Passo 3
Agora, vamos ver a distância que o trem percorre nesse tempo. Como o trem está acelerando, a distância percorrida é dada por:
Substituindo
, temos:
Passo 4
O passageiro está correndo a uma velocidade constante de 7
. A distância que ele percorre até alcançar o trem é igual à distância inicial
. Então, a distância que ele percorre é:
onde
.
Passo 5
Como o passageiro alcança o trem quando a distância que ele correu é igual à distância que o trem percorreu mais a distância inicial
, podemos montar a equação:
Substituindo
, temos:
Passo 6
Vamos rearranjar a equação para resolver em relação ao tempo
:
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 7
Essa é uma equação quadrática na forma
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar o tempo
:
Aqui,
,
e
.
Passo 8
Substituindo os valores na fórmula:
Consideramos apenas a solução positiva, pois o tempo não pode ser negativo:
Passo 9
Agora que temos o tempo
, vamos calcular a velocidade média do trem. A velocidade média (
) em um intervalo de tempo para um movimento uniformemente acelerado é dada por:
Aqui,
é a velocidade inicial do trem, que é 0
, e
é a velocidade final do trem no instante
:
Portanto:
Resposta
A velocidade média do trem no intervalo de tempo desde
até o instante em que o passageiro o alcança é
, onde
segundos.