Um passageiro corre à sua velocidade máxima de 7 m / s para pegar um trem. Quando está a distância d da porta de entrada, o trem começa a se movimentar com aceleração igual a 1 m / s^2, afastando-se
Qual a velocidade média do trem no intervalo de tempo de t=0 até o instante em que o passageiro consegue alcança-lo?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um passageiro que está correndo na velocidade máxima de 7 m / s para pegar um trem. Quando ele está a uma distância d da porta de entrada, o trem começa a se movimentar com uma aceleração de 1 m / s^2, ou seja, está indo ficando mais rápido. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi a velocidade média do trem desde o momento que ele começou a se mover ( t=0) até o instante em que o passageiro consegue alcançá-lo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) e velocidade média.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o movimento do trem funciona. Como ele está acelerando, sua velocidade aumenta com o tempo. A fórmula para a velocidade do trem em qualquer instante t é:
v(t) = a cdot t
onde a = 1 m / s^2.

Passo 3

Agora, vamos ver a distância que o trem percorre nesse tempo. Como o trem está acelerando, a distância percorrida é dada por:
s(t) = 12 a t^2
Substituindo a = 1 m / s^2, temos:
s(t) = 12 t^2

Passo 4

O passageiro está correndo a uma velocidade constante de 7 m / s. A distância que ele percorre até alcançar o trem é igual à distância inicial d. Então, a distância que ele percorre é:
d = vp cdot t
onde vp = 7 m / s.

Passo 5

Como o passageiro alcança o trem quando a distância que ele correu é igual à distância que o trem percorreu mais a distância inicial d, podemos montar a equação:
d + s(t) = vp cdot t
Substituindo s(t) = 12 t^2, temos:
d + 12 t^2 = 7 t

Passo 6

Vamos rearranjar a equação para resolver em relação ao tempo t:
12 t^2 - 7 t + d = 0
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
t^2 - 14 t + 2d = 0

Passo 7

Essa é uma equação quadrática na forma at^2 + bt + c = 0. Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar o tempo t:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = -14 e c = 2d.

Passo 8

Substituindo os valores na fórmula:
t = 14 pm raiz(-14)^2 - 4 cdot 1 cdot 2d2 cdot 1 = 14 pm raiz196 - 8d2
t = 14 pm raiz196 - 8d2
Consideramos apenas a solução positiva, pois o tempo não pode ser negativo:
t = 14 - raiz196 - 8d2

Passo 9

Agora que temos o tempo t, vamos calcular a velocidade média do trem. A velocidade média ( vmédiaé) em um intervalo de tempo para um movimento uniformemente acelerado é dada por:
vmédia = vi + vf2 é
Aqui, vi é a velocidade inicial do trem, que é 0 m / s, e vf é a velocidade final do trem no instante t:
vf = a cdot t = 1 cdot t = t
Portanto:
vmédia = 0 + t2 = t2 é

Resposta

A velocidade média do trem no intervalo de tempo desde t=0 até o instante em que o passageiro o alcança é t2, onde t = 14 - raiz196 - 8d2 segundos.

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