Um passageiro corre à sua velocidade máxima de 7 m / s para pegar um trem. Quando está a distância d da porta de entrada, o trem começa a se movimentar com aceleração igual a 1 m / s^2, afastando-se
Qual a maior distância entre o passageiro e o trem que ainda permitira que o passageiro consiga pegar o trem?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão nos diz e identificar o que vamos precisar para resolver.
Enunciado resumido: Um passageiro está correndo na velocidade máxima de para pegar um trem. Quando ele está a uma distância da porta de entrada, o trem começa a se mover com uma aceleração de , afastando-se. Queremos descobrir qual é a maior distância que o passageiro pode estar do trem e ainda assim conseguir pegá-lo.
Conteúdo da matéria: Cinemática do movimento uniformemente variado (aceleração constante) e movimento retilíneo uniforme.
O que vamos precisar:
  • Equações do movimento para o passageiro e para o trem.
  • Igualar as posições dos dois para encontrar o ponto de encontro.
  • Resolver a equação resultante para encontrar .

Passo 2

Vamos definir as posições dos dois em função do tempo xp(t) = d - vp t .
Para o passageiro, que está correndo com velocidade constante xt(t) = 12 a t^2 = 12 times 1 times t^2 = t^22 :
A posição do passageiro em relação ao ponto onde o trem começou a se mover é:
x = x0 + v0 t + 12 a t^2
Aqui, subtraímos porque o passageiro está se aproximando do trem a partir de uma distância .
Para o trem, que parte do repouso e acelera com :
A posição do trem em relação ao ponto de partida é:
A fórmula usada aqui é a equação do movimento uniformemente variado sem velocidade inicial:
onde e .

Passo 3

Para que o passageiro consiga pegar o trem, as posições dos dois devem ser iguais no mesmo instante xp(t) = xt(t) , ou seja:
d - vp t = t^22
Substituindo as expressões que encontramos:
d - 7t = t^22
Substituímos :

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação para encontrar d = 7t + t^22 em termos de :
Isso nos dá a distância em função do tempo que leva para o passageiro pegar o trem.

Passo 5

Para encontrar a maior distância dddt = 7 + t que ainda permite que o passageiro pegue o trem, precisamos maximizar a função 7 + t = 0 implies t = -7 , s . Isso significa encontrar o ponto onde a taxa de variação de em relação a é zero (ponto de máximo).
Derivamos em relação a :
Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto de máximo:
No entanto, tempo não pode ser negativo, o que indica que a função não tem um ponto de máximo real positivo. Isso sugere que a maior distância ocorre quando o passageiro e o trem nunca se encontram, o que não resolve nosso problema.

Passo 6

Vamos analisar novamente. A equação d = 7t + t^22 representa a distância inicial necessária para que o passageiro consiga alcançar o trem no tempo t^22 - 7t + d = 0 . Para encontrar a maior distância possível, precisamos encontrar o tempo mínimo em que o passageiro pode pegar o trem.
Vamos reescrever a equação original:
t^2 - 14t + 2d = 0
Queremos encontrar o menor t = 14 pm raiz196 - 8d2 = 7 pm raiz49 - 2d tal que o passageiro consiga alcançar o trem. Para isso, encontramos quando as duas posições se igualam. Resolvendo a equação quadrática:
49 - 2d >= 0 implies d <= 492 = 24,5 , m
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar :
Para que existam soluções reais para , o discriminante deve ser maior ou igual a zero:

Resposta

A maior distância entre o passageiro e o trem que ainda permite que o passageiro consiga pegar o trem é de 24,5 metros.

Exercícios relacionados