Um passageiro corre à sua velocidade máxima de 7
para pegar um trem. Quando está a distância
da porta de entrada, o trem começa a se movimentar com aceleração igual a
, afastando-se
Qual a maior distância entre o passageiro e o trem que ainda permitira que o passageiro consiga pegar o trem?
Qual a maior distância entre o passageiro e o trem que ainda permitira que o passageiro consiga pegar o trem?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão nos diz e identificar o que vamos precisar para resolver.
Enunciado resumido: Um passageiro está correndo na velocidade máxima de
para pegar um trem. Quando ele está a uma distância
da porta de entrada, o trem começa a se mover com uma aceleração de
, afastando-se. Queremos descobrir qual é a maior distância
que o passageiro pode estar do trem e ainda assim conseguir pegá-lo.
Conteúdo da matéria: Cinemática do movimento uniformemente variado (aceleração constante) e movimento retilíneo uniforme.
O que vamos precisar:
- Equações do movimento para o passageiro e para o trem.
- Igualar as posições dos dois para encontrar o ponto de encontro.
- Resolver a equação resultante para encontrar
.
Passo 2
Vamos definir as posições dos dois em função do tempo
.
Para o passageiro, que está correndo com velocidade constante
:
A posição do passageiro em relação ao ponto onde o trem começou a se mover é:
Aqui, subtraímos
porque o passageiro está se aproximando do trem a partir de uma distância
.
Para o trem, que parte do repouso e acelera com
:
A posição do trem em relação ao ponto de partida é:
A fórmula usada aqui é a equação do movimento uniformemente variado sem velocidade inicial:
onde
e
.
Passo 3
Para que o passageiro consiga pegar o trem, as posições dos dois devem ser iguais no mesmo instante
, ou seja:
Substituindo as expressões que encontramos:
Substituímos
:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação para encontrar
em termos de
:
Isso nos dá a distância
em função do tempo que leva para o passageiro pegar o trem.
Passo 5
Para encontrar a maior distância
que ainda permite que o passageiro pegue o trem, precisamos maximizar a função
. Isso significa encontrar o ponto onde a taxa de variação de
em relação a
é zero (ponto de máximo).
Derivamos
em relação a
:
Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto de máximo:
No entanto, tempo não pode ser negativo, o que indica que a função
não tem um ponto de máximo real positivo. Isso sugere que a maior distância ocorre quando o passageiro e o trem nunca se encontram, o que não resolve nosso problema.
Passo 6
Vamos analisar novamente. A equação
representa a distância inicial necessária para que o passageiro consiga alcançar o trem no tempo
. Para encontrar a maior distância possível, precisamos encontrar o tempo mínimo em que o passageiro pode pegar o trem.
Vamos reescrever a equação original:
Queremos encontrar o menor
tal que o passageiro consiga alcançar o trem. Para isso, encontramos quando as duas posições se igualam. Resolvendo a equação quadrática:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar
:
Para que existam soluções reais para
, o discriminante deve ser maior ou igual a zero:
Resposta
A maior distância entre o passageiro e o trem que ainda permite que o passageiro consiga pegar o trem é de 24,5 metros.
Exercícios relacionados
Um passageiro corre à sua velocidade máxima de 7
para pegar um trem. Quando está a distância
da porta de entrada, o trem começa a se movimentar com aceleração igual a
, afastando-se
Qual a velocidade média do trem no intervalo de tempo de até o instante em que o passageiro consegue alcança-lo?
Qual a velocidade média do trem no intervalo de tempo de
Ainda sobre a barra do exercício anterior, determine as tensões normais atuantes nos trechos AB e BC. Assumindo que as tensões limites de ruptura à tração e compressão são, respectivamente, iguais a 180 MPa e 100 MPa , verifique a segurança de cada trecho.
Considere um estado geral de tensões, representado pelo tensor abaixo. Determine:
a) As tensões principais e os autovetores que indicam as direções principais;
a) As tensões principais e os autovetores que indicam as direções principais;
Considere um estado geral de tensões, representado pelo tensor abaixo. Determine:
b) Os Círculos de Mohr correspondentes;
b) Os Círculos de Mohr correspondentes;