Um passageiro corre à sua velocidade máxima de 7 para pegar um trem. Quando está a distância da porta de entrada, o trem começa a se movimentar com aceleração igual a , afastando-se
Qual a maior distância entre o passageiro e o trem que ainda permitira que o passageiro consiga pegar o trem?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão nos diz e identificar o que vamos precisar para resolver.
Enunciado resumido: Um passageiro está correndo na velocidade máxima de para pegar um trem. Quando ele está a uma distância da porta de entrada, o trem começa a se mover com uma aceleração de , afastando-se. Queremos descobrir qual é a maior distância que o passageiro pode estar do trem e ainda assim conseguir pegá-lo.
Conteúdo da matéria: Cinemática do movimento uniformemente variado (aceleração constante) e movimento retilíneo uniforme.
O que vamos precisar:
  • Equações do movimento para o passageiro e para o trem.
  • Igualar as posições dos dois para encontrar o ponto de encontro.
  • Resolver a equação resultante para encontrar .

Passo 2

Vamos definir as posições dos dois em função do tempo .
Para o passageiro, que está correndo com velocidade constante :
A posição do passageiro em relação ao ponto onde o trem começou a se mover é:
Aqui, subtraímos porque o passageiro está se aproximando do trem a partir de uma distância .
Para o trem, que parte do repouso e acelera com :
A posição do trem em relação ao ponto de partida é:
A fórmula usada aqui é a equação do movimento uniformemente variado sem velocidade inicial:
onde e .

Passo 3

Para que o passageiro consiga pegar o trem, as posições dos dois devem ser iguais no mesmo instante , ou seja:
Substituindo as expressões que encontramos:
Substituímos :

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação para encontrar em termos de :
Isso nos dá a distância em função do tempo que leva para o passageiro pegar o trem.

Passo 5

Para encontrar a maior distância que ainda permite que o passageiro pegue o trem, precisamos maximizar a função . Isso significa encontrar o ponto onde a taxa de variação de em relação a é zero (ponto de máximo).
Derivamos em relação a :
Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto de máximo:
No entanto, tempo não pode ser negativo, o que indica que a função não tem um ponto de máximo real positivo. Isso sugere que a maior distância ocorre quando o passageiro e o trem nunca se encontram, o que não resolve nosso problema.

Passo 6

Vamos analisar novamente. A equação representa a distância inicial necessária para que o passageiro consiga alcançar o trem no tempo . Para encontrar a maior distância possível, precisamos encontrar o tempo mínimo em que o passageiro pode pegar o trem.
Vamos reescrever a equação original:
Queremos encontrar o menor tal que o passageiro consiga alcançar o trem. Para isso, encontramos quando as duas posições se igualam. Resolvendo a equação quadrática:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar :
Para que existam soluções reais para , o discriminante deve ser maior ou igual a zero:

Resposta

A maior distância entre o passageiro e o trem que ainda permite que o passageiro consiga pegar o trem é de 24,5 metros.

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