Um corredor partindo do repouso aumenta sua velocidade a uma taxa constante até atingir uma velocidade máxima vmax que ocorre em um instante de tempo t1. A partir desse instante o corredor mantém a velocidade constante até o instante de tempo t2. Sabendo-se que a distância total percorrida pelo corredor é d determine a velocidade máxima atingida pelo corredor.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um corredor que começa parado e acelera de forma constante até alcançar uma velocidade máxima no tempo . Depois disso, ele mantém essa velocidade constante até o tempo . A distância total percorrida é . Nosso objetivo é encontrar qual foi essa velocidade máxima .

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o movimento do corredor em duas partes: a aceleração e o movimento com velocidade constante.
1. Durante a aceleração:
  • O corredor parte do repouso, então sua velocidade inicial vmax = v0 + a t1 .
  • Ele acelera a uma taxa constante até atingir a = vmaxt1 em d1 = v0 t1 + 12 a t1^2 .
  • A aceleração d1 = 12 a t1^2 pode ser calculada usando a fórmula: d2 = vmax (t2 - t1) Como , temos:
  • A distância percorrida durante a aceleração ( ) é dada por: Novamente, como :
2. Durante o movimento com velocidade constante:
  • A velocidade é .
  • O tempo gasto nessa fase é .
  • A distância percorrida ( ) é:

Passo 3

Sabemos que a distância total d = d1 + d2 é a soma de d = 12 a t1^2 + vmax (t2 - t1) e d = 12 ( vmaxt1 ) t1^2 + vmax (t2 - t1) :
d = 12 vmax t1 + vmax (t2 - t1)
Substituindo as expressões que encontramos:
Lembrando que , substituímos na equação:
Simplificando:

Passo 4

Vamos fatorar d = vmax ( t12 + t2 - t1 ) na equação:
d = vmax ( t2 - t12 )
Simplificando dentro do parêntese:

Passo 5

Agora, isolamos vmax = dt2 - t12 para encontrar a velocidade máxima:
vmax = dt2 - t12 = 2d2t2 - t1
Podemos simplificar o denominador:

Resposta

A velocidade máxima atingida pelo corredor é:
vmax = 2d2t2 - t1

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