Considere o exemplo do ciclóide, discutido em sala. As equações acopladas de movimento são dadas por
& ddoty=omega dotz, & ddotz=omega(EB-doty)
Desacople as equações acima, ou seja, obtenha uma equação diferencial apenas para y e uma equação diferencial apenas para z.

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos duas equações de movimento que estão “acopladas”, ou seja, elas dependem uma da outra. O objetivo é “desacoplá-las”, ou seja, transformar essas duas equações em duas equações separadas, uma só envolvendo $ y $ e outra só envolvendo $ z $. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo e manipulação de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, observe as duas equações dadas:
& ddoty = omega dotz, & ddotz = omega(EB - doty)
Aqui, $ \ddot{y} $ representa a segunda derivada de $ y $ em relação ao tempo, ou seja, a aceleração em $ y $, e $ \dot{z} $ é a primeira derivada de $ z $, a velocidade em $ z $. $ \omega $, $ E $ e $ B $ são constantes.

Passo 3

Para desacoplar as equações, vamos tentar expressar tudo em termos de uma única variável. Vamos começar isolando $ \dot{z} $ na primeira equação:
dotz

Passo 4

Agora, vamos substituir $ \dot{z} $ na segunda equação. Primeiro, reorganizamos a segunda equação para isolar $ \ddot{z} $:
dotz
Sabemos que $ \dot{z} = \frac{\ddot{y}}{\omega} $, então vamos derivar ambos os lados dessa igualdade em relação ao tempo para encontrar $ \ddot{z} $:
ddotz

Passo 5

Agora, substituímos $ \ddot{z} $ na segunda equação:
ddotz
Multiplicando ambos os lados por $ \omega $ para eliminar o denominador:
dddotyomega = omega(EB - doty)

Passo 6

Agora temos uma equação apenas em termos de $ y $:
y
Esta é a equação diferencial desacoplada para $ y $.

Passo 7

Para encontrar a equação para $ z $, podemos usar a relação que já encontramos anteriormente:
z
Mas queremos uma equação apenas em termos de $ z $. Vamos usar a segunda equação original:
dotz = ddotyomega
Sabemos que $ \dot{y} = \frac{\ddot{z}}{\omega} $ a partir da primeira equação rearranjada. Substituindo isso na equação acima:
z
Multiplicando ambos os lados por $ \omega $:
ddotz = omega(EB - doty)
Rearranjando os termos:
doty = ddotzomega
Assim, temos:
ddotz = omega(EB - ddotzomega)

Resposta

As equações desacopladas são:
dddoty + omega^2 doty = omega^2 EB,
ddotz = omega^2 EB (omega + 1)

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