Considere o exemplo do ciclóide, discutido em sala. As equações acopladas de movimento são dadas por
Desacople as equações acima, ou seja, obtenha uma equação diferencial apenas para
e uma equação diferencial apenas para
.
Passo 1
Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos duas equações de movimento que estão “acopladas”, ou seja, elas dependem uma da outra. O objetivo é “desacoplá-las”, ou seja, transformar essas duas equações em duas equações separadas, uma só envolvendo $ y $ e outra só envolvendo $ z $. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo e manipulação de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, observe as duas equações dadas:
Aqui, $ \ddot{y} $ representa a segunda derivada de $ y $ em relação ao tempo, ou seja, a aceleração em $ y $, e $ \dot{z} $ é a primeira derivada de $ z $, a velocidade em $ z $. $ \omega $, $ E $ e $ B $ são constantes.
Passo 3
Para desacoplar as equações, vamos tentar expressar tudo em termos de uma única variável. Vamos começar isolando $ \dot{z} $ na primeira equação:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ \dot{z} $ na segunda equação. Primeiro, reorganizamos a segunda equação para isolar $ \ddot{z} $:
Sabemos que $ \dot{z} = \frac{\ddot{y}}{\omega} $, então vamos derivar ambos os lados dessa igualdade em relação ao tempo para encontrar $ \ddot{z} $:
Passo 5
Agora, substituímos $ \ddot{z} $ na segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por $ \omega $ para eliminar o denominador:
Passo 6
Agora temos uma equação apenas em termos de $ y $:
Esta é a equação diferencial desacoplada para $ y $.
Passo 7
Para encontrar a equação para $ z $, podemos usar a relação que já encontramos anteriormente:
Mas queremos uma equação apenas em termos de $ z $. Vamos usar a segunda equação original:
Sabemos que $ \dot{y} = \frac{\ddot{z}}{\omega} $ a partir da primeira equação rearranjada. Substituindo isso na equação acima:
Multiplicando ambos os lados por $ \omega $:
Rearranjando os termos:
Assim, temos:
Resposta
As equações desacopladas são: