Considere o exemplo do ciclóide, discutido em sala. As equações acopladas de movimento são dadas por
Use o fato de que a partícula partiu da origem e do repouso para encontrar as constantes
, e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um exemplo de ciclóide e duas equações acopladas de movimento:
O nosso objetivo é encontrar as constantes $ C_{1}, C_{2}, C_{3} $ e $ C_{4} $ usando o fato de que a partícula começou da origem e estava em repouso. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de equações diferenciais acopladas e condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações para facilitar a resolução:
- $ \ddot{y} = \omega \dot{z} $
- $ \ddot{z} = \omega\left(\frac{E}{B} - \dot{y}\right) $
Aqui, $ \ddot{y} $ e $ \ddot{z} $ representam as acelerações nas direções $ y $ e $ z $, respectivamente, e $ \dot{y} $ e $ \dot{z} $ são as velocidades.
Passo 3
Vamos integrar a primeira equação para obter $ \dot{y} $:
$ \ddot{y} = \omega \dot{z} $
Integrando em relação ao tempo $ t $:
$ \dot{y} = \omega z + C_{1} $
Onde $ C_{1} $ é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos substituir $ \dot{y} $ na segunda equação:
$ \ddot{z} = \omega\left(\frac{E}{B} - (\omega z + C_{1})\right) $
Simplificando:
$ \ddot{z} = \omega\left(\frac{E}{B}\right) - \omega^{2} z - \omega C_{1} $
Passo 5
Reescrevendo a equação para resolver $ z $:
$ \ddot{z} + \omega^{2} z = \omega\left(\frac{E}{B}\right) - \omega C_{1} $
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem. A solução geral é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular.
Passo 6
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
$ \ddot{z} + \omega^{2} z = 0 $
A solução geral para isso é:
$ z_h = C_{2} \cos(\omega t) + C_{3} \sin(\omega t) $
Passo 7
Agora, encontramos uma solução particular $ z_p $. Observe que o termo do lado direito é constante, então tentamos uma solução constante:
$ z_p = constante $
Substituindo na equação:
$ 0 + \omega^{2} z_p = \omega\left(\frac{E}{B}\right) - \omega C_{1} $
Resolvendo para $ z_p $:
$ z_p = \frac{\omega\left(\frac{E}{B}\right) - \omega C_{1}}{\omega^{2}} = \frac{E}{B \omega} - \frac{C_{1}}{\omega} $
Passo 8
Assim, a solução geral para $ z(t) $ é:
$ z(t) = C_{2} \cos(\omega t) + C_{3} \sin(\omega t) + \frac{E}{B \omega} - \frac{C_{1}}{\omega} $
Passo 9
Agora, voltamos à expressão para $ \dot{y} $:
$ \dot{y} = \omega z + C_{1} $
Substituindo $ z(t) $:
$ \dot{y} = \omega \left[ C_{2} \cos(\omega t) + C_{3} \sin(\omega t) + \frac{E}{B \omega} - \frac{C_{1}}{\omega} \right] + C_{1} $
Simplificando:
$ \dot{y} = \omega C_{2} \cos(\omega t) + \omega C_{3} \sin(\omega t) + \frac{E}{B} - C_{1} + C_{1} $
Então:
$ \dot{y} = \omega C_{2} \cos(\omega t) + \omega C_{3} \sin(\omega t) + \frac{E}{B} $
Passo 10
Integrando $ \dot{y} $ para encontrar $ y(t) $:
$ y(t) = \int \dot{y} , dt = \int \left[ \omega C_{2} \cos(\omega t) + \omega C_{3} \sin(\omega t) + \frac{E}{B} \right] dt $
Integrando termo a termo:
$ y(t) = \omega C_{2} \left( \frac{\sin(\omega t)}{\omega} \right) - \omega C_{3} \left( \frac{\cos(\omega t)}{\omega} \right) + \frac{E}{B} t + C_{4} $
Simplificando:
$ y(t) = C_{2} \sin(\omega t) - C_{3} \cos(\omega t) + \frac{E}{B} t + C_{4} $
Passo 11
Agora, aplicamos as condições iniciais: a partícula parte da origem ($ y(0) = 0 $, $ z(0) = 0
\dot{y}(0) = 0 $, $ \dot{z}(0) = 0 $).
Primeiro, para $ z(0) = 0 $:
$ z(0) = C_{2} \cos(0) + C_{3} \sin(0) + \frac{E}{B \omega} - \frac{C_{1}}{\omega} = C_{2} + 0 + \frac{E}{B \omega} - \frac{C_{1}}{\omega} = 0 $
Então:
$ C_{2} = \frac{C_{1}}{\omega} - \frac{E}{B \omega} $
Passo 12
Para $ \dot{z}(0) = 0 $:
Vamos derivar $ z(t) $:
$ \dot{z}(t) = -C_{2} \omega \sin(\omega t) + C_{3} \omega \cos(\omega t) $
Então:
$ \dot{z}(0) = -C_{2} \omega \cdot 0 + C_{3} \omega \cdot 1 = C_{3} \omega = 0 $
Portanto:
$ C_{3} = 0 $
Passo 13
Agora, para $ y(0) = 0 $:
$ y(0) = C_{2} \sin(0) - C_{3} \cos(0) + \frac{E}{B} \cdot 0 + C_{4} = 0 - 0 + 0 + C_{4} = C_{4} = 0 $
Então:
$ C_{4} = 0 $
Passo 14
Por fim, para $ \dot{y}(0) = 0 $:
$ \dot{y}(0) = \omega C_{2} \cos(0) + \omega C_{3} \sin(0) + \frac{E}{B} = \omega C_{2} + 0 + \frac{E}{B} = 0 $
Substituindo $ C_{2} $:
$ \omega \left( \frac{C_{1}}{\omega} - \frac{E}{B \omega} \right) + \frac{E}{B} = C_{1} - \frac{E}{B} + \frac{E}{B} = C_{1} = 0 $
Então:
$ C_{1} = 0 $
Resposta
As constantes são: