Considere a expansão , válida para todo .
a) Utilize a representação acima para escrever a função como uma série de potências de ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa escrever essa função como uma série de potências de . Para isso, vamos usar a expansão da exponencial . O objetivo é manipular essa série para adaptar à nossa função .

Passo 2

Observamos que na função , temos a exponencial . Podemos reescrever isso usando a expansão dada, substituindo por :

Passo 3

Agora, multiplicamos essa série por , já que nossa função inclui esse fator:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da soma. Primeiro, elevamos à potência :
Substituindo de volta na soma:

Resposta

Portanto, a função pode ser escrita como a série de potências:

Exercícios relacionados

Encontre a série de Taylor de:
b) em torno do ponto .
(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.:
Encontre a série de Taylor de:
a) ;