Considere a expansão e^x=sumn=0^infty x^nn!, válida para todo x in R.
a) Utilize a representação acima para escrever a função f(x)=x e^-2 x^2 como uma série de potências de x;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa escrever essa função como uma série de potências de . Para isso, vamos usar a expansão da exponencial . O objetivo é manipular essa série para adaptar à nossa função .

Passo 2

Observamos que na função e^-2x^2 = sumn=0^infty (-2x^2)^nn! , temos a exponencial . Podemos reescrever isso usando a expansão dada, substituindo por :

Passo 3

Agora, multiplicamos essa série por f(x) = x cdot e^-2x^2 = x cdot sumn=0^infty (-2x^2)^nn! , já que nossa função inclui esse fator:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da soma. Primeiro, elevamos (-2x^2)^n = (-2)^n cdot x^2n à potência f(x) = x cdot sumn=0^infty (-2)^n cdot x^2nn! = sumn=0^infty (-2)^n cdot x^2n + 1n! :
Substituindo de volta na soma:

Resposta

Portanto, a função f(x) = sumn=0^infty (-2)^nn! cdot x^2n + 1 pode ser escrita como a série de potências:

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