Considere a expansão
, válida para todo
.
a) Utilize a representação acima para escrever a função
como uma série de potências de
;
a) Utilize a representação acima para escrever a função
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função
e precisa escrever essa função como uma série de potências de
. Para isso, vamos usar a expansão da exponencial
. O objetivo é manipular essa série para adaptar à nossa função
.
Passo 2
Observamos que na função
, temos a exponencial
. Podemos reescrever isso usando a expansão dada, substituindo
por
:
Passo 3
Agora, multiplicamos essa série por
, já que nossa função
inclui esse fator:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da soma. Primeiro, elevamos
à potência
:
Substituindo de volta na soma:
Resposta
Portanto, a função
pode ser escrita como a série de potências: