Encontre a série de Taylor de:
b) em torno do ponto .

Passo 1

Beleza! A gente vai encontrar a série de Taylor da função em torno do ponto . Isso faz parte do conteúdo de séries de Taylor na matemática. Para resolver isso, vamos precisar dos derivados da função e da fórmula da série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, lembra que a série de Taylor de uma função em torno de é uma soma infinita que aproxima a função perto desse ponto. A fórmula geral é:
Isso significa que precisamos calcular os -ésimos derivados de avaliados em .

Passo 3

Vamos calcular os derivados de até observaremos o padrão:
Viu como os derivados se repetem a cada 4 passos? Isso vai facilitar nossa vida!

Passo 4

Agora, vamos avaliar esses derivados em :

Passo 5

Com esses valores, podemos montar a série de Taylor:
Simplificando:

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:

Exercícios relacionados

Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
c) .
Considere a expansão , válida para todo .
a) Utilize a representação acima para escrever a função como uma série de potências de ;
(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.: