Encontre a série de Taylor de:
b)
em torno do ponto
.
b)
Passo 1
Beleza! A gente vai encontrar a série de Taylor da função
em torno do ponto
. Isso faz parte do conteúdo de séries de Taylor na matemática. Para resolver isso, vamos precisar dos derivados da função
e da fórmula da série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, lembra que a série de Taylor de uma função
em torno de
é uma soma infinita que aproxima a função perto desse ponto. A fórmula geral é:
Isso significa que precisamos calcular os
-ésimos derivados de
avaliados em
.
Passo 3
Vamos calcular os derivados de
até observaremos o padrão:
Viu como os derivados se repetem a cada 4 passos? Isso vai facilitar nossa vida!
Passo 4
Agora, vamos avaliar esses derivados em
:
Passo 5
Com esses valores, podemos montar a série de Taylor:
Simplificando:
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é:
Exercícios relacionados
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
c) .
c)
Considere a expansão
, válida para todo
.
a) Utilize a representação acima para escrever a função como uma série de potências de
;
a) Utilize a representação acima para escrever a função
(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.: