Encontre a série de Taylor de:
b) f(x) = cos(x) em torno do ponto x0 = pi / 4.

Passo 1

Beleza! A gente vai encontrar a série de Taylor da função em torno do ponto . Isso faz parte do conteúdo de séries de Taylor na matemática. Para resolver isso, vamos precisar dos derivados da função e da fórmula da série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, lembra que a série de Taylor de uma função em torno de é uma soma infinita que aproxima a função perto desse ponto. A fórmula geral é:
Isso significa que precisamos calcular os -ésimos derivados de avaliados em .

Passo 3

Vamos calcular os derivados de até observaremos o padrão:
Viu como os derivados se repetem a cada 4 passos? Isso vai facilitar nossa vida!

Passo 4

Agora, vamos avaliar esses derivados em :

Passo 5

Com esses valores, podemos montar a série de Taylor:
Simplificando:

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:

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