Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição e entender um pouco sobre derivadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Note que
Então, a integral fica:
Agora, para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Isso nos ajudará a simplificar a integral.
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
:
Rearranjando para encontrar
:
Agora, substituímos na integral original:
Simplificando:
Mas como
e sabemos que
, podemos continuar integrando em termos de
.
Passo 4
Após simplificar, a integral se torna mais direta:
Substituindo
de volta:
Mas lembrando que
, podemos expressar de outra forma, mas para manter a resposta simples, deixamos como está.
Resposta
A integral é igual a
Exercícios relacionados
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
c) .
c)
Encontre a série de Taylor de:
b) em torno do ponto
.
b)
Considere a expansão
, válida para todo
.
a) Utilize a representação acima para escrever a função como uma série de potências de
;
a) Utilize a representação acima para escrever a função