Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral
Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição e entender um pouco sobre derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Note que
Então, a integral fica:
Agora, para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Isso nos ajudará a simplificar a integral.

Passo 3

Calculando a derivada de em relação a :
Rearranjando para encontrar :
Agora, substituímos na integral original:
Simplificando:
Mas como e sabemos que , podemos continuar integrando em termos de .

Passo 4

Após simplificar, a integral se torna mais direta:
Substituindo de volta:
Mas lembrando que , podemos expressar de outra forma, mas para manter a resposta simples, deixamos como está.

Resposta

A integral é igual a

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Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
c) .
Encontre a série de Taylor de:
b) em torno do ponto .
Considere a expansão , válida para todo .
a) Utilize a representação acima para escrever a função como uma série de potências de ;