integral cosec^2(2 x+1) cosec(2 x+1) cotg(2 x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral
integral cosec^2(2x + 1) cosec(2x + 1) cotg(2x + 1) , dx
Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição e entender um pouco sobre derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Note que
cosec^2(2x + 1) cdot cosec(2x + 1) = cosec^3(2x + 1)
Então, a integral fica:
integral cosec^3(2x + 1) cotg(2x + 1) , dx
Agora, para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
u = cotg(2x + 1)
Isso nos ajudará a simplificar a integral.

Passo 3

Calculando a derivada de dudx = -2 cosec^2(2x + 1) em relação a dx = du-2 cosec^2(2x + 1) :
integral cosec^3(2x + 1) cotg(2x + 1) , dx = integral cosec^3(2x + 1) cdot u cdot du-2 cosec^2(2x + 1)
Rearranjando para encontrar = -12 integral cosec(2x + 1) cdot u , du :
Agora, substituímos na integral original:
Simplificando:
Mas como e sabemos que , podemos continuar integrando em termos de .

Passo 4

Após simplificar, a integral se torna mais direta:
- 12 integral u cdot du = - 12 cdot u^22 + C = -u^24 + C
Substituindo = -cotg^2(2x + 1)4 + C de volta:
Mas lembrando que , podemos expressar de outra forma, mas para manter a resposta simples, deixamos como está.

Resposta

A integral é igual a
- cotg^2(2x + 1)4 + C

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