Considere uma extensa parede plana de espessura L=0,4 m, condutividade térmica k=2,3 W / mK e área da superfície A =30 m^2. O lado esquerdo da parede é mantido a uma temperatura constante T1=90^circ C, enquanto o lado direito perde calor por convecção para o ar ambiente a Tinfty=25^circ C com coeficiente de transferência de calor h=24 W / m^2 K. Considerando uma condutividade térmica constante e ausência de geração de calor na parede, (b) obtenha a expressão para a variação da temperatura na parede resolvendo a equação diferencial.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma parede plana com certa espessura, condutividade térmica e área de superfície. De um lado, a parede está mantida a uma temperatura constante, e do outro lado, ela perde calor para o ambiente por convecção. Nosso objetivo é encontrar como a temperatura varia ao longo da parede resolvendo uma equação diferencial relacionada à condução de calor.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da Lei de Fourier para condução de calor. Ela nos diz que o fluxo de calor através de um material é proporcional à área, à condutividade térmica e à diferença de temperatura, e inversamente proporcional à espessura do material. A fórmula básica é:
q = -k cdot A cdot dTdx
Onde:
  • é o fluxo de calor,
  • é a condutividade térmica,
  • é a área,
  • é a derivada da temperatura em relação à posição.

Passo 3

No nosso caso, estamos no regime de estado estacionário, ou seja, a temperatura não muda com o tempo. Então, o fluxo de calor através da parede é constante. Além disso, no lado direito da parede, o calor é perdido por convecção. A Lei de Resfriamento de Newton nos dá a relação para a convecção:
q = h cdot A cdot (T - Tinfty)
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • é a temperatura na superfície da parede,
  • é a temperatura do ar ambiente.

Passo 4

Igualando os dois fluxos de calor porque estão no mesmo fluxo constante através da parede:
-k cdot A cdot dTdx = h cdot A cdot (T - Tinfty)
Podemos simplificar cancelando - k cdot dTdx = h cdot (T - Tinfty) dos dois lados:

Passo 5

Rearranjando a equação para separar as variáveis de dTT - Tinfty = -hk dx e :

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração nos ajuda a encontrar a função integral 1T - Tinfty dT = -hk integral dx que descreve como a temperatura varia com a posição na parede:
ln(T - Tinfty) = -hk x + C
A integral à esquerda é e a da direita é , onde é a constante de integração:

Passo 7

Para resolver para T - Tinfty = e^-hk x + C = e^C cdot e^-hk x , aplicamos a exponencial em ambos os lados:
T - Tinfty = C' cdot e^-hk x
Podemos redefinir como uma nova constante, digamos :

Passo 8

Aplicamos a condição de contorno. Sabemos que na posição T1 - Tinfty = C' cdot e^0 Rightarrow C' = T1 - Tinfty , a temperatura :

Passo 9

Substituímos T(x) = Tinfty + (T1 - Tinfty) cdot e^-hk x na equação geral para obter a expressão final da variação da temperatura:

Resposta

A variação da temperatura na parede é dada por:
T(x) = 25,^circC + (90,^circC - 25,^circC) cdot e^-242,3 x

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