Considere uma extensa parede plana de espessura
, condutividade térmica
e área da superfície A
. O lado esquerdo da parede é mantido a uma temperatura constante
, enquanto o lado direito perde calor por convecção para o ar ambiente a
com coeficiente de transferência de calor
. Considerando uma condutividade térmica constante e ausência de geração de calor na parede, (b) obtenha a expressão para a variação da temperatura na parede resolvendo a equação diferencial.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma parede plana com certa espessura, condutividade térmica e área de superfície. De um lado, a parede está mantida a uma temperatura constante, e do outro lado, ela perde calor para o ambiente por convecção. Nosso objetivo é encontrar como a temperatura varia ao longo da parede resolvendo uma equação diferencial relacionada à condução de calor.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da Lei de Fourier para condução de calor. Ela nos diz que o fluxo de calor através de um material é proporcional à área, à condutividade térmica e à diferença de temperatura, e inversamente proporcional à espessura do material. A fórmula básica é:
Onde:
-
é o fluxo de calor, -
é a condutividade térmica, -
é a área, -
é a derivada da temperatura em relação à posição.
Passo 3
No nosso caso, estamos no regime de estado estacionário, ou seja, a temperatura não muda com o tempo. Então, o fluxo de calor através da parede é constante. Além disso, no lado direito da parede, o calor é perdido por convecção. A Lei de Resfriamento de Newton nos dá a relação para a convecção:
Onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor por convecção, -
é a temperatura na superfície da parede, -
é a temperatura do ar ambiente.
Passo 4
Igualando os dois fluxos de calor porque estão no mesmo fluxo constante através da parede:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Passo 5
Rearranjando a equação para separar as variáveis de
e
:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração nos ajuda a encontrar a função
que descreve como a temperatura varia com a posição na parede:
A integral à esquerda é
e a da direita é
, onde
é a constante de integração:
Passo 7
Para resolver para
, aplicamos a exponencial em ambos os lados:
Podemos redefinir
como uma nova constante, digamos
:
Passo 8
Aplicamos a condição de contorno. Sabemos que na posição
, a temperatura
:
Passo 9
Substituímos
na equação geral para obter a expressão final da variação da temperatura:
Resposta
A variação da temperatura na parede é dada por:
Exercícios relacionados
Uma resistência elétrica é inserida em um bloco de concreto para derretimento de neve. A resistência provê um fluxo de calor uniforme de
. A condutividade térmica do concreto é
. Para minimizar o choque térmico no concreto, a diferença de temperatura entre a superfície da resistência
e a superfície do concreto
não deve exceder
. Determine a espessura do concreto L para que
. R.
Para os campos de velocidade dados abaixo, determine:
a. Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê.
b. Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê. (a e b são constantes.)
(5)
a. Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê.
b. Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê. (a e b são constantes.)
(5)
Calcule a perda de carga continua ao longo de uma tubulação de polietileno com 60 m de comprimento e
de diaametro interno, e que conduz uma vazão de
.
Para os campos de velocidade dados abaixo, determine:
a. Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê.
b. Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê. (a e b são constantes.)
(8)
a. Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê.
b. Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê. (a e b são constantes.)
(8)