Escreva a forma da eq̧uação do calor e as condições inicial e de contorno que determinam a variação da temperatura com a posıção e o tempo, T(x, t), na base da panela ao longo do Estagio 1. Expresse o seu resultado em termos dos paràmetros q0, D, L, h e Tinfty, assim como das propriedades pertinentes do materıal da panela.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para escrever a forma da equação do calor e as condições iniciais e de contorno que descrevem como a temperatura varia com a posição e o tempo na base da panela durante o Estágio 1. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor. Precisaremos dos parâmetros (fluxo de calor), (difusividade térmica), (comprimento), (coeficiente de convecção) e (temperatura ambiente), além das propriedades do material da panela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação do calor unidimensional, que descreve como a temperatura partial Tpartial t = D partial^2 Tpartial x^2 + q0rho cp varia no espaço e no tempo:
Aqui, é a difusividade térmica, é a densidade do material da panela, e é a capacidade térmica específica.

Passo 3

Agora, vamos estabelecer a condição inicial. Supondo que no início ( T(x, 0) = Tinfty, para todo 0 <= x <= L ) toda a panela estava na temperatura ambiente , temos:
Isso significa que, inicialmente, não há diferença de temperatura na base da panela.

Passo 4

Em seguida, precisamos definir as condições de contorno. Vamos considerar duas situações nas extremidades da base da panela:
  1. Na posição - k partial Tpartial xg|x=0 = q0 , onde ocorre uma fonte de calor constante - k partial Tpartial xg|x=L = h ( T(L, t) - Tinfty ) . Isso pode ser representado por uma condição de fluxo de calor:
Aqui, é a condutividade térmica do material da panela.
  1. Na posição , supondo que a panela perde calor por convecção para o ambiente, temos:
Onde é o coeficiente de convecção e é a temperatura ambiente.

Resposta

Juntando tudo, a equação do calor e as condições necessárias são:
partial Tpartial t = D partial^2 Tpartial x^2 + q0rho cp
Condição Inicial:
T(x, 0) = Tinfty, para 0 <= x <= L
Condições de Contorno:
- k partial Tpartial xg|x=0 = q0
- k partial Tpartial xg|x=L = h ( T(L, t) - Tinfty )
Essas expressões descrevem como a temperatura na base da panela varia com a posição e o tempo , considerando os parâmetros , , , , e as propriedades do material da panela.

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