Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente determinar se a equação diferencial é linear, homogênea, separável ou exata. Para isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas características significa e verificar qual delas se aplica a essa equação. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma .
Na nossa equação , vamos tentar isolar :
Agora, temos . Comparando com a forma linear , vemos que:
  • (já que não tem termo sozinho)
Entretanto, para ser linear, não pode depender de . Como no nosso caso depende de , a equação não é linear.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos e .
Na equação , o termo tem grau 2 (porque é grau 1 e é grau 1, somando 2). Como todos os termos da equação têm o mesmo grau, a equação é homogênea.

Passo 4

Vamos ver se a equação é separável. Uma equação é separável se conseguimos escrever a equação de forma que todos os termos com ficam de um lado e com do outro.
Na equação , podemos separar assim:
Aqui, conseguimos isolar de um lado e do outro. Portanto, a equação é separável.

Passo 5

Por último, vamos checar se a equação é exata. Para isso, precisamos escrever a equação na forma e verificar se .
Nossa equação original já está nessa forma:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Resposta

A equação é homogênea, separável e exata, mas não é linear.

Exercícios relacionados

Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(a)
Considere contínua em e diferenciável em . É possível afirmar que a função é limitada? Se sim, prove. Se não, dê um contraexemplo.
Resolver as seguintes equações lineares:
(a)
Resolver as seguintes equações lineares:
(b)