Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente determinar se a equação diferencial
é linear, homogênea, separável ou exata. Para isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas características significa e verificar qual delas se aplica a essa equação. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma
.
Na nossa equação
, vamos tentar isolar
:
Agora, temos
. Comparando com a forma linear
, vemos que:
-
(já que não tem termo sozinho) -
Entretanto, para ser linear,
não pode depender de
. Como no nosso caso
depende de
, a equação não é linear.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos
e
.
Na equação
, o termo
tem grau 2 (porque
é grau 1 e
é grau 1, somando 2). Como todos os termos da equação têm o mesmo grau, a equação é homogênea.
Passo 4
Vamos ver se a equação é separável. Uma equação é separável se conseguimos escrever a equação de forma que todos os termos com
ficam de um lado e com
do outro.
Na equação
, podemos separar assim:
Aqui, conseguimos isolar
de um lado e
do outro. Portanto, a equação é separável.
Passo 5
Por último, vamos checar se a equação é exata. Para isso, precisamos escrever a equação na forma
e verificar se
.
Nossa equação original já está nessa forma:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Resposta
A equação
é homogênea, separável e exata, mas não é linear.
Exercícios relacionados
Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(a)
(a)
Considere
contínua em
e diferenciável em
. É possível afirmar que a função
é limitada? Se sim, prove. Se não, dê um contraexemplo.
Resolver as seguintes equações lineares:
(a)
(a)
Resolver as seguintes equações lineares:
(b)
(b)