Considere
uma função contínua. Mostre que:
(a) Se
é uma função par, então
.
(b) Se
é uma função ímpar, então
.
© Interprete geometricamente os itens anteriores.
(a) Se
(b) Se
© Interprete geometricamente os itens anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre integrais de funções pares e ímpares. O enunciado pede para mostrar três propriedades envolvendo integrais de funções contínuas no intervalo
. Para isso, vamos precisar saber o que são funções pares e ímpares e entender como elas se comportam quando integradas em intervalos simétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o item (a): se
é uma função par, então
.
Uma função é par se
para todo
. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo
.
Quando integramos uma função par de
a
, pela simetria, a área de
é igual à área de
. Portanto, a integral total é o dobro da integral de
a
.
Matematicamente:
Como
é par,
. Assim:
Passo 3
Agora, vamos para o item (b): se
é uma função ímpar, então
.
Uma função é ímpar se
para todo
. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Ao integrar uma função ímpar de
a
, as áreas de
e
se cancelam mutuamente, resultando em zero.
Matematicamente:
Como
é ímpar,
. Assim:
Passo 4
Por fim, o item © pede para interpretar geometricamente os itens anteriores.
Para funções pares, a área sob a curva de
é o dobro da área de
porque a parte de
é uma imagem refletida da parte
em relação ao eixo
.
Já para funções ímpares, a área sob a curva de
é zero porque a área de
é exatamente o oposto da área de
, cancelando-se mutuamente.
Resposta
(a)
(b)
© Geometricamente, para funções pares, as áreas de
e
são iguais, somando-se para dar o dobro. Para funções ímpares, as áreas de
e
se cancelam, resultando em zero.
Exercícios relacionados
Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(f)
(f)
Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região delimitada pelas curvas
e
é rotacionada em torno:
(a) do eixo .
(b) da reta .
© da reta .
(a) do eixo
(b) da reta
© da reta
Calcule as seguintes derivadas