Considere f:[a, b] R uma função contínua. Mostre que:
(a) Se f é uma função par, então integral-a^a f(x) d x=2 integral0^a f(x) d x.
(b) Se f é uma função ímpar, então integral-a^a f(x) d x=0.
© Interprete geometricamente os itens anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre integrais de funções pares e ímpares. O enunciado pede para mostrar três propriedades envolvendo integrais de funções contínuas no intervalo . Para isso, vamos precisar saber o que são funções pares e ímpares e entender como elas se comportam quando integradas em intervalos simétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o item (a): se integral-a^a f(x) , dx = integral-a^0 f(x) , dx + integral0^a f(x) , dx é uma função par, então integral-a^a f(x) , dx = 2 integral0^a f(x) , dx .
Uma função é par se para todo . Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo .
Quando integramos uma função par de a , pela simetria, a área de é igual à área de . Portanto, a integral total é o dobro da integral de a .
Matematicamente:
Como é par, . Assim:

Passo 3

Agora, vamos para o item (b): se integral-a^a f(x) , dx = integral-a^0 f(x) , dx + integral0^a f(x) , dx é uma função ímpar, então integral-a^a f(x) , dx = integral0^a f(x) , dx - integral0^a f(x) , dx = 0 .
Uma função é ímpar se para todo . Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Ao integrar uma função ímpar de a , as áreas de e se cancelam mutuamente, resultando em zero.
Matematicamente:
Como é ímpar, . Assim:

Passo 4

Por fim, o item © pede para interpretar geometricamente os itens anteriores.
Para funções pares, a área sob a curva de é o dobro da área de porque a parte de é uma imagem refletida da parte em relação ao eixo .
Já para funções ímpares, a área sob a curva de é zero porque a área de é exatamente o oposto da área de , cancelando-se mutuamente.

Resposta

(a)
(b)
© Geometricamente, para funções pares, as áreas de e são iguais, somando-se para dar o dobro. Para funções ímpares, as áreas de e se cancelam, resultando em zero.

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