Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região delimitada pelas curvas
e
é rotacionada em torno:
(a) do eixo
.
(b) da reta
.
© da reta
.
(a) do eixo
(b) da reta
© da reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever as integrais que calculam o volume de um sólido obtido ao girar a região delimitada pelas curvas
e
em torno de diferentes eixos. Vamos usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente os métodos de disco e casca, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a área que está sendo girada. Vamos igualar as duas funções para encontrar os pontos de interseção:
Resolvendo essa equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então,
e
. Esses são os limites de integração.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada parte:
(a) Rotação em torno do eixo
Aqui, usamos o método dos discos ou anéis. A fórmula geral para o volume é:
Onde
é a função de cima e
a de baixo.
Passo 4
Identificamos que
e
. Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
(b) Rotação em torno da reta
Neste caso, ainda usamos o método dos discos, mas precisamos ajustar as funções para a distância até a reta
. A fórmula fica:
Passo 6
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 7
© Rotação em torno da reta
Aqui, usamos o método dos cascos cilíndricos. A fórmula é:
Onde
é a distância até a reta de rotação e
é a altura do casco.
Passo 8
A distância até
é
. A altura do casco é a diferença entre as funções:
Então, a integral fica:
Resposta
As integrais que permitem calcular o volume do sólido são:
(a) Em torno do eixo
:
(b) Em torno da reta
:
© Em torno da reta
:
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo.
®
®
Determine a distância percorrida por uma partícula que se desloca entre os pontos
e
cuja posição, no instante
, é dada por
e
.
Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(f)
(f)
Considere
uma função contínua. Mostre que:
(a) Se é uma função par, então
.
(b) Se é uma função ímpar, então
.
© Interprete geometricamente os itens anteriores.
(a) Se
(b) Se
© Interprete geometricamente os itens anteriores.