Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região delimitada pelas curvas y = x^2 - 4 e y = x - 2 é rotacionada em torno:
(a) do eixo x.
(b) da reta y = 2.
© da reta x = -3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever as integrais que calculam o volume de um sólido obtido ao girar a região delimitada pelas curvas e em torno de diferentes eixos. Vamos usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente os métodos de disco e casca, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a área que está sendo girada. Vamos igualar as duas funções para encontrar os pontos de interseção:
Resolvendo essa equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, e . Esses são os limites de integração.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte:

(a) Rotação em torno do eixo

Aqui, usamos o método dos discos ou anéis. A fórmula geral para o volume é:
Onde é a função de cima e a de baixo.

Passo 4

Identificamos que e . Então, substituindo na fórmula:

Passo 5

(b) Rotação em torno da reta

Neste caso, ainda usamos o método dos discos, mas precisamos ajustar as funções para a distância até a reta . A fórmula fica:

Passo 6

Substituindo e :
Simplificando:

Passo 7

© Rotação em torno da reta

Aqui, usamos o método dos cascos cilíndricos. A fórmula é:
Onde é a distância até a reta de rotação e é a altura do casco.

Passo 8

A distância até é . A altura do casco é a diferença entre as funções:
Então, a integral fica:

Resposta

As integrais que permitem calcular o volume do sólido são:
(a) Em torno do eixo :
(b) Em torno da reta :
© Em torno da reta :

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