lim x 8 raizx-2 raiz2raiz[3]x+19-3

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando raizx - 2 raiz2raiz[3]x + 19 - 3 se aproxima de 8 da expressão:
Esse problema envolve conceitos de limites e manipulação de radicais. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de racionalização para simplificar a expressão e então calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir raiz8 - 2 raiz2raiz[3]8 + 19 - 3 = 2 raiz2 - 2 raiz2raiz[3]27 - 3 = 03 - 3 = 00 na expressão para ver o que acontece:
Obtivemos uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos racionalizar o numerador e o denominador para eliminar os radicais.
Racionalizando o numerador:
Multiplicamos e dividimos o numerador por raizx - 2 raiz2 = (raizx - 2 raiz2)(raizx + 2 raiz2)raizx + 2 raiz2 = x - (2 raiz2)^2raizx + 2 raiz2 = x - 8raizx + 2 raiz2 :
raiz[3]x + 19 - 3 = (raiz[3]x + 19)^3 - 3^3(raiz[3]x + 19)^2 + 3 raiz[3]x + 19 + 9 = x + 19 - 27(raiz[3]x + 19)^2 + 3 raiz[3]x + 19 + 9 = x - 8(raiz[3]x + 19)^2 + 3 raiz[3]x + 19 + 9
Racionalizando o denominador:
Para o denominador , usamos a identidade da diferença de cubos. Multiplicamos e dividimos por :

Passo 4

Agora, substituímos as expressões racionais na fração original:
raizx - 2 raiz2raiz[3]x + 19 - 3 = x - 8raizx + 2 raiz2x - 8(raiz[3]x + 19)^2 + 3 raiz[3]x + 19 + 9 = (raiz[3]x + 19)^2 + 3 raiz[3]x + 19 + 9raizx + 2 raiz2
Agora podemos cancelar o (raiz[3]8 + 19)^2 + 3 raiz[3]8 + 19 + 9raiz8 + 2 raiz2 = 3^2 + 3 cdot 3 + 92 raiz2 + 2 raiz2 = 9 + 9 + 94 raiz2 = 274 raiz2 que aparece no numerador e no denominador. Com isso, a expressão fica mais simples para calcular o limite.
Substituindo na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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