Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
se aproxima de 8 da expressão:
Esse problema envolve conceitos de limites e manipulação de radicais. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de racionalização para simplificar a expressão e então calcular o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão para ver o que acontece:
Obtivemos uma forma indeterminada
. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos racionalizar o numerador e o denominador para eliminar os radicais.
Racionalizando o numerador:
Multiplicamos e dividimos o numerador por
:
Racionalizando o denominador:
Para o denominador
, usamos a identidade da diferença de cubos. Multiplicamos e dividimos por
:
Passo 4
Agora, substituímos as expressões racionais na fração original:
Agora podemos cancelar o
que aparece no numerador e no denominador. Com isso, a expressão fica mais simples para calcular o limite.
Substituindo
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes derivadas
Considere
uma função contínua. Mostre que:
(a) Se é uma função par, então
.
(b) Se é uma função ímpar, então
.
© Interprete geometricamente os itens anteriores.
(a) Se
(b) Se
© Interprete geometricamente os itens anteriores.
Encontre uma função
contínua, positiva e tal que a área da região situada sob o seu gráfico e entre as retas
e
seja igual a
, para todo
.
Determine uma função
diferenciável, positiva e tal que
para todo
.