Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida de forma diferente dependendo do valor de
. Queremos verificar se essa função é contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização:
Aqui,
é um valor que define a função no ponto
.
Passo 3
Para que a função seja contínua em
, o limite da função quando
se aproxima de 2 deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Passo 4
Vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de 2:
Primeiro, tentamos substituir
diretamente:
Esse resultado é indeterminado, então precisamos simplificar a expressão.
Passo 5
Vamos fatorar o numerador:
Substituindo na função:
Agora, podemos cancelar o termo
no numerador e denominador, desde que
:
Passo 6
Agora, calculamos o limite da função simplificada:
Passo 7
Para a função ser contínua em
, o valor de
deve ser igual a esse limite:
Resposta
O valor de
deve ser
para que a função seja contínua no ponto
.