Considere é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(e) é um espaço vetorial real?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se o conjunto , que é formado por todas as funções de para , é um espaço vetorial sobre os números reais. Isso está dentro do tema de Espaços Vetoriais na matemática. Pra resolver isso, vamos lembrar o que define um espaço vetorial e checar se satisfaz esses requisitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (nós reais) é um conjunto onde podemos adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar, e essas operações seguem algumas regras, como associatividade, comutatividade da adição, existência do vetor zero, e assim por diante.

Passo 3

No nosso caso, os “vetores” são as funções de para . A adição de duas funções e é definida ponto a ponto: para todo . A multiplicação por escalar (um número real ) é também feita ponto a ponto: .

Passo 4

Agora, vamos conferir as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial:
  1. Fechamento na Adição: Se e são funções em , então também é uma função de para . Portanto, está fechado na adição.
  2. Fechamento na Multiplicação por Escalar: Se está em e é um número real, então também é uma função de para . Logo, está fechado na multiplicação por escalar.
  3. Associatividade da Adição: para todas as funções .
  4. Comutatividade da Adição: .
  5. Existência do Vetor Zero: Existe uma função zero onde para todo , que atua como o elemento neutro da adição.
  6. Existência de Inversos Aditivos: Para cada , existe uma função tal que .
  7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores: .
  8. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares: .
  9. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escalares: .
  10. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar: .

Passo 5

Como todas essas propriedades são satisfeitas pelas funções em quando consideramos as operações usuais de adição e multiplicação por escalar real, podemos concluir que esse conjunto realmente forma um espaço vetorial sobre .

Resposta

Sim, é um espaço vetorial real.

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(a) ;
(b) .
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© e , sendo dada.
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