Considere
é função
, munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(e)
é um espaço vetorial real?
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se o conjunto
, que é formado por todas as funções de
para
, é um espaço vetorial sobre os números reais. Isso está dentro do tema de Espaços Vetoriais na matemática. Pra resolver isso, vamos lembrar o que define um espaço vetorial e checar se
satisfaz esses requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo
(nós reais) é um conjunto onde podemos adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar, e essas operações seguem algumas regras, como associatividade, comutatividade da adição, existência do vetor zero, e assim por diante.
Passo 3
No nosso caso, os “vetores” são as funções de
para
. A adição de duas funções
e
é definida ponto a ponto:
para todo
. A multiplicação por escalar (um número real
) é também feita ponto a ponto:
.
Passo 4
Agora, vamos conferir as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial:
-
Fechamento na Adição: Se
e são funções em , então também é uma função de para . Portanto, está fechado na adição. -
Fechamento na Multiplicação por Escalar: Se
está em e é um número real, então também é uma função de para . Logo, está fechado na multiplicação por escalar. -
Associatividade da Adição:
para todas as funções . -
Comutatividade da Adição:
. -
Existência do Vetor Zero: Existe uma função zero
onde para todo , que atua como o elemento neutro da adição. -
Existência de Inversos Aditivos: Para cada
, existe uma função tal que . -
Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:
. -
Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:
. -
Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escalares:
. -
Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar:
.
Passo 5
Como todas essas propriedades são satisfeitas pelas funções em
quando consideramos as operações usuais de adição e multiplicação por escalar real, podemos concluir que esse conjunto realmente forma um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Sim,
é um espaço vetorial real.
Exercícios relacionados
Justifique por que o conjunto dos polinômios com coeficientes reais e grau igual a
, munido das operações usuais com polinômios, não é um espaço vetorial real.
Mostre que os vetores
, e
são linearmente independentes (l.i) e escreva o vetor
como combinação linear destes vetores, onde:
(a) ;
(b) .
(a)
(b)
Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
dado.
© e
, sendo
dada.
©
Dizemos que uma função
é limitada quando existe
tal que
para todo
. Prove que o conjunto das funções limitadas é um subespaço vetorial de
, o qual é gerado pelas funções limitadas positivas.