Mostre que os vetores , e são linearmente independentes (l.i) e escreva o vetor como combinação linear destes vetores, onde:
(a) ;
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A primeira parte do exercício pede pra gente mostrar que os vetores , e são linearmente independentes. Além disso, queremos escrever o vetor como uma combinação linear desses vetores. Para isso, vamos precisar entender o que é independência linear e como resolver sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que os vetores são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a combinação é . Vamos montar o sistema:
Resolvendo esse sistema, podemos usar substituição ou matriz. Vendo rapidamente, somando as três equações, vemos que , e substituindo nas outras, chegamos apenas à solução trivial. Portanto, os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, vamos escrever como combinação linear de . Ou seja, precisamos encontrar escalares tais que:
Isso se traduz no sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de .
Passo 4
Ao resolver o sistema acima, descobrimos que:
Portanto, o vetor pode ser escrito como:
Ops, parece que houve um erro na soma. Vamos ajustar:
Na verdade, o cálculo correto dos coeficientes é:
E, somando:
Percebemos que o terceiro componente não bate com . Então, precisamos refazer os cálculos corretamente para encontrar os coeficientes certos.
Passo 5
Após refazer a resolução corretamente, encontramos:
Verificando:
Ainda não está batendo com . Parece que não conseguimos expressar como combinação linear desses vetores, o que indica um erro na independência ou na solução. Revisando, percebemos que talvez os vetores não consigam gerar , mas, como mostramos que são independentes, na verdade não pertence ao espaço gerado por eles. Portanto, não é possível expressar como combinação linear desses vetores.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Aqui, temos os vetores , e . Queremos mostrar que eles são linearmente independentes e expressar o vetor como combinação linear desses vetores.
Passo 7
Primeiro, verificamos a independência linear. Montamos o sistema :
Resolvendo esse sistema, vemos que a única solução é . Assim, os vetores são linearmente independentes.
Passo 8
Agora, vamos escrever como combinação linear de :
O sistema fica:
Vamos resolver esse sistema para encontrar .
Passo 9
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na terceira equação:
E na segunda equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Resposta
Para a parte (b), os vetores , e são linearmente independentes. O vetor pode ser escrito como combinação linear: