Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço do espaço vetorial V dado.
© V=Mn(R) e W=A in Mn(R): B A=0, sendo B in Mn(R) dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. Para isso, vamos precisar lembrar das condições que um subconjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço: ele deve conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se contém a matriz zero. A matriz zero, denotada por , tem todas as entradas iguais a zero. Se multiplicarmos a matriz por , teremos , porque qualquer matriz vezes a matriz zero resulta na matriz zero. Então, . Isso confirma a primeira condição para ser um subespaço.

Passo 3

Agora, vamos verificar se B(A + C) = BA + BC = 0 + 0 = 0 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes qualquer e que estão em , a soma também deve estar em . Sabemos que e . Então, ao somar essas duas equações, temos:
Portanto, , mostrando que é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se B(lambda A) = lambda BA = lambda times 0 = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos uma matriz e um escalar , o produto também deve estar em . Sabemos que . Multiplicando ambos os lados por , temos:
Assim, , o que mostra que é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço do espaço vetorial .

Exercícios relacionados