Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
dado.
©
e
, sendo
dada.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais. Para isso, vamos precisar lembrar das condições que um subconjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço: ele deve conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
contém a matriz zero. A matriz zero, denotada por
, tem todas as entradas iguais a zero. Se multiplicarmos a matriz
por
, teremos
, porque qualquer matriz vezes a matriz zero resulta na matriz zero. Então,
. Isso confirma a primeira condição para ser um subespaço.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes qualquer
e
que estão em
, a soma
também deve estar em
. Sabemos que
e
. Então, ao somar essas duas equações, temos:
Portanto,
, mostrando que
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos uma matriz
e um escalar
, o produto
também deve estar em
. Sabemos que
. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Assim,
, o que mostra que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é um subespaço do espaço vetorial
.
Exercícios relacionados
Considere
é função
, munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(e) é um espaço vetorial real?
(e)
Justifique por que o conjunto dos polinômios com coeficientes reais e grau igual a
, munido das operações usuais com polinômios, não é um espaço vetorial real.
Dizemos que uma função
é limitada quando existe
tal que
para todo
. Prove que o conjunto das funções limitadas é um subespaço vetorial de
, o qual é gerado pelas funções limitadas positivas.
Encontre para que valores de
a equação
representa o conjunto vazio, um ponto ou uma esfera.