Dizemos que uma função é limitada quando existe tal que para todo . Prove que o conjunto das funções limitadas é um subespaço vetorial de , o qual é gerado pelas funções limitadas positivas.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre funções limitadas. Basicamente, uma função é limitada se existe um número positivo tal que para todo em , o valor absoluto de não ultrapassa , ou seja, . O que queremos mostrar é que o conjunto de todas essas funções limitadas forma um subespaço vetorial de (o conjunto de todas as funções de para ), e que esse subespaço é gerado pelas funções limitadas que são positivas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as propriedades que devemos verificar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço vetorial de um espaço vetorial maior se:
Contém o vetor zero: Ou seja, a função que sempre dá zero deve estar em .
É fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
É fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto das funções limitadas.
Passo 3
1. O vetor zero está no conjunto das funções limitadas?
Sim! A função zero definida por para todo é limitada. Basta escolher (ou qualquer número positivo, na verdade) porque sempre. Portanto, o vetor zero está no conjunto.
Passo 4
2. O conjunto é fechado sob adição?
Vamos supor que e são duas funções limitadas. Isso significa que existem e tais que:
Queremos ver se também é limitada. Observe que:
Então, podemos escolher , garantindo que é limitada. Assim, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 5
3. O conjunto é fechado sob multiplicação por escalar?
Vamos pegar uma função limitada e um escalar . Sabemos que:
Então, se escolhermos , temos que também é limitada. Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
4. O conjunto é gerado pelas funções limitadas positivas?
Funções limitadas positivas são aquelas que sempre assumem valores não negativos, ou seja, para todo . Qualquer função limitada pode ser escrita como a diferença de duas funções limitadas positivas. Por exemplo:
onde e . Ambas e são funções limitadas e positivas. Assim, qualquer função limitada pode ser gerada a partir de funções limitadas positivas, mostrando que elas geram o subespaço.
Resposta
Portanto, mostramos que o conjunto das funções limitadas satisfaz todas as propriedades de um subespaço vetorial e que ele é gerado pelas funções limitadas positivas. Logo, o conjunto das funções limitadas é um subespaço vetorial de , gerado pelas funções limitadas positivas.