Dizemos que uma função
é limitada quando existe
tal que
para todo
. Prove que o conjunto das funções limitadas é um subespaço vetorial de
, o qual é gerado pelas funções limitadas positivas.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre funções limitadas. Basicamente, uma função
é limitada se existe um número positivo
tal que para todo
em
, o valor absoluto de
não ultrapassa
, ou seja,
. O que queremos mostrar é que o conjunto de todas essas funções limitadas forma um subespaço vetorial de
(o conjunto de todas as funções de
para
), e que esse subespaço é gerado pelas funções limitadas que são positivas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as propriedades que devemos verificar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço vetorial de um espaço vetorial maior
se:
- Contém o vetor zero: Ou seja, a função que sempre dá zero deve estar em
. - É fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um número real, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto das funções limitadas.
Passo 3
1. O vetor zero está no conjunto das funções limitadas?
Sim! A função zero
definida por
para todo
é limitada. Basta escolher
(ou qualquer número positivo, na verdade) porque
sempre. Portanto, o vetor zero está no conjunto.
Passo 4
2. O conjunto é fechado sob adição?
Vamos supor que
e
são duas funções limitadas. Isso significa que existem
e
tais que:
Queremos ver se
também é limitada. Observe que:
Então, podemos escolher
, garantindo que
é limitada. Assim, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 5
3. O conjunto é fechado sob multiplicação por escalar?
Vamos pegar uma função limitada
e um escalar
. Sabemos que:
Então, se escolhermos
, temos que
também é limitada. Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
4. O conjunto é gerado pelas funções limitadas positivas?
Funções limitadas positivas são aquelas que sempre assumem valores não negativos, ou seja,
para todo
. Qualquer função limitada
pode ser escrita como a diferença de duas funções limitadas positivas. Por exemplo:
onde
e
. Ambas
e
são funções limitadas e positivas. Assim, qualquer função limitada pode ser gerada a partir de funções limitadas positivas, mostrando que elas geram o subespaço.
Resposta
Portanto, mostramos que o conjunto das funções limitadas satisfaz todas as propriedades de um subespaço vetorial e que ele é gerado pelas funções limitadas positivas. Logo, o conjunto das funções limitadas é um subespaço vetorial de
, gerado pelas funções limitadas positivas.