Justifique por que o conjunto dos polinômios com coeficientes reais e grau igual a , munido das operações usuais com polinômios, não é um espaço vetorial real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente explicar por que o conjunto de polinômios com coeficientes reais e grau exatamente igual a (onde ), usando as operações normais de soma e multiplicação por escalar, não forma um espaço vetorial real. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se esse conjunto atende às regras necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os números reais, por exemplo, é um conjunto de vetores onde a gente pode fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar. Essas operações precisam seguir certas propriedades, como existência de um vetor zero, existência de elementos inversos, fechamento sob adição e multiplicação por escalar, entre outras.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto dos polinômios de grau exatamente . Cada polinômio nesse conjunto tem a forma
onde . Ou seja, o termo de maior grau tem coeficiente diferente de zero.
Passo 4
Vamos verificar a existência do vetor zero. No contexto dos polinômios, o vetor zero seria o polinômio , que tem grau indefinido ou considerado menor que qualquer inteiro . Mas nosso conjunto só inclui polinômios com grau exatamente , então o polinômio zero não está incluído nesse conjunto. Isso já é um problema, porque um espaço vetorial sempre precisa ter o vetor zero.
Passo 5
Além disso, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Se você pegar dois polinômios de grau e somar, o resultado pode ser de grau menor que se os coeficientes de se cancelarem. Por exemplo:
A soma teria os termos de grau cancelados, resultando em um polinômio de grau menor que , que não pertence ao nosso conjunto original.
Passo 6
Também precisamos checar a fechamento sob multiplicação por escalar. Se multiplicarmos um polinômio de grau por um escalar diferente de zero, o grau se mantém , o que está ok. Mas se multiplicarmos por zero, obtemos o polinômio zero, que, como vimos antes, não está no conjunto.
Resposta
Então, como o conjunto dos polinômios com coeficientes reais e grau exatamente igual a não contém o vetor zero e não é fechado sob adição, ele não satisfaz os requisitos para ser um espaço vetorial real.