Considere F(A, B)=f: A B ; f é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(d) F(C, R) é um espaço vetorial complexo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que estamos perguntando aqui. A questão é sobre o conjunto F(C, R), que é o conjunto de todas as funções que vão dos números complexos C para os números reais R. A gente quer saber se esse conjunto, com as operações de soma de funções e multiplicação por escalar que a gente costuma usar, forma um espaço vetorial complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que ele precisa ter para ser considerado um espaço vetorial complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (neste caso, os números complexos) é um conjunto onde você pode adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar, e tudo isso deve seguir algumas regras específicas (como associatividade, existência de elemento neutro, etc.). No nosso caso, os “vetores” são as funções de C para R, e os “escalars” são números complexos.

Passo 3

Agora, vamos pensar na multiplicação por escalar. Se tivermos uma função f in F(C, R) e um escalar complexo c in C, a multiplicação escalar seria definida como (c cdot f)(z) = c cdot f(z) para todo z in C. Mas aqui está o problema: f(z) é um número real, e estamos multiplicando por um número complexo. O resultado dessa multiplicação seria um número complexo.

Passo 4

Porém, observe que a função resultante c cdot f não está mais mapeando para números reais, mas sim para números complexos. Isso significa que c cdot f não pertence mais ao conjunto F(C, R), que só contém funções que mapeiam para R. Portanto, a operação de multiplicação por escalar não está bem definida dentro desse conjunto quando os escalares são complexos.

Passo 5

Além disso, para que F(C, R) seja um espaço vetorial complexo, todas as propriedades de espaço vetorial devem ser satisfeitas com escalares complexos. Mas como vimos, a multiplicação por escalares complexos leva fora do conjunto F(C, R), o que significa que uma das propriedades básicas não é atendida.

Resposta

Não, F(C, R) não é um espaço vetorial complexo.

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