Considere é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(d) é um espaço vetorial complexo?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que estamos perguntando aqui. A questão é sobre o conjunto , que é o conjunto de todas as funções que vão dos números complexos para os números reais . A gente quer saber se esse conjunto, com as operações de soma de funções e multiplicação por escalar que a gente costuma usar, forma um espaço vetorial complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que ele precisa ter para ser considerado um espaço vetorial complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (neste caso, os números complexos) é um conjunto onde você pode adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar, e tudo isso deve seguir algumas regras específicas (como associatividade, existência de elemento neutro, etc.). No nosso caso, os “vetores” são as funções de para , e os “escalars” são números complexos.
Passo 3
Agora, vamos pensar na multiplicação por escalar. Se tivermos uma função e um escalar complexo , a multiplicação escalar seria definida como para todo . Mas aqui está o problema: é um número real, e estamos multiplicando por um número complexo. O resultado dessa multiplicação seria um número complexo.
Passo 4
Porém, observe que a função resultante não está mais mapeando para números reais, mas sim para números complexos. Isso significa que não pertence mais ao conjunto , que só contém funções que mapeiam para . Portanto, a operação de multiplicação por escalar não está bem definida dentro desse conjunto quando os escalares são complexos.
Passo 5
Além disso, para que seja um espaço vetorial complexo, todas as propriedades de espaço vetorial devem ser satisfeitas com escalares complexos. Mas como vimos, a multiplicação por escalares complexos leva fora do conjunto , o que significa que uma das propriedades básicas não é atendida.