Seja lambda in R. Sendo r: X=(1 ; 0 ; 2)+lambda(0 ; 0 ; 2), s: X=(-1 ; 0 ; 1)+lambda(1 ; 1 ; 0) e t: X=(0 ; 0 ; 0)+lambda(1 ;-1 ; 0) calcule a distância entre r e a reta perpendicular comum a s e a t.
DICA: A reta perpendicular comum a s e a t é a reta obtida pela interseç̧ão dos planos: pi1 contendo s e paralelo ao vetor normal a s e a t e o plano pi2 contendo t e paralelo ao vetor normal a s e a t.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três retas no espaço tridimensional:
  • Reta : Passa pelo ponto e tem direção .
  • Reta : Passa pelo ponto e tem direção .
  • Reta : Passa pela origem e tem direção .
Queremos encontrar a distância entre a reta e a reta perpendicular que é comum às retas e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria vetorial, como vetores diretores, planos e distância entre retas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a reta perpendicular comum às retas e . Segundo a dica, essa reta é a interseção de dois planos:
  • Plano : Contém a reta e é paralelo ao vetor normal às retas e .
  • Plano : Contém a reta e também é paralelo ao vetor normal às retas e .
Para encontrar esses planos, vamos precisar determinar o vetor normal comum às retas e .

Passo 3

O vetor normal comum pode ser encontrado pelo produto vetorial dos vetores diretores das retas n = vs times vt = i & j & k 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 = (0, 0, -2) e . Vamos chamar os vetores diretores de e .
Calculando o produto vetorial:
Portanto, o vetor normal comum é .

Passo 4

Agora, vamos definir os planos n cdot (X - Xs) = 0 e 0(x + 1) + 0(y - 0) -2(z - 1) = 0 implies -2z + 2 = 0 implies z = 1 usando o vetor normal 0(x - 0) + 0(y - 0) -2(z - 0) = 0 implies -2z = 0 implies z = 0 :
  • Plano : Contém a reta e tem vetor normal . A equação do plano pode ser escrita como:
Onde é um ponto na reta .
Substituindo:
  • Plano : Contém a reta e também tem vetor normal . A equação do plano é:

Passo 5

A interseção dos planos (onde ) e (onde ) não é possível, pois são planos paralelos em diferentes alturas. Parece que houve um equívoco na definição dos planos. Vamos reconsiderar.
Na verdade, para que uma reta seja perpendicular e comum às retas e , precisamos que ela seja perpendicular aos vetores diretores e . Isso significa que o vetor diretor dessa reta deve ser paralelo ao vetor normal .
Portanto, a reta perpendicular comum terá direção e passará pelo ponto de interseção dos planos que contêm e e são paralelos a .

Passo 6

Vamos encontrar um ponto que está na reta perpendicular comum. Para isso, consideramos que essa reta está na direção de e procuramos um ponto que esteja simultaneamente nos planos que contêm e .
Assumindo que está na reta , podemos igualar as equações paramétricas para encontrar o parâmetro que corresponde à interseção.
Entretanto, uma abordagem mais direta é calcular a distância entre a reta e a reta perpendicular comum às e , usando a fórmula da distância entre duas retas no espaço.

Passo 7

A fórmula para a distância entre duas retas d = |(P2 - P1) cdot (v1 times v2)||v1 times v2| e no espaço é dada por:
Onde:
  • e são pontos nas retas e respectivamente.
  • e são os vetores diretores das retas.
Vamos aplicar essa fórmula para as retas e a reta perpendicular comum.

Passo 8

Primeiro, identificamos os vetores diretores:
  • Reta vr times n = i & j & k 0 & 0 & 2 0 & 0 & -2 = (0, 0, 0) :
  • Reta perpendicular comum ( ):
Escolhemos pontos nas retas:
  • Ponto em :
  • Ponto na reta perpendicular (podemos escolher para simplificar)
Calculando :
Percebi que o produto vetorial deu zero, o que indica que as retas são paralelas. Isso significa que a distância é simplesmente a distância entre os pontos e projetada na direção perpendicular.

Passo 9

Como as retas são paralelas, a distância entre elas pode ser calculada projetando o vetor que as conecta sobre um vetor perpendicular.
O vetor que conecta Pp Pr = (1 - 0, 0 - 0, 2 - 0) = (1, 0, 2) a Projeção = Pp Pr cdot n|n| = (1)(0) + (0)(0) + (2)(-2)raiz0^2 + 0^2 + (-2)^2 = -42 = -2 é:
d = |-2| = 2
O vetor perpendicular é . A projeção de sobre é dada por:
çã
A distância é o valor absoluto dessa projeção:

Resposta

A distância entre a reta e a reta perpendicular comum às retas e é igual a unidades.

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