Sejam . Escreva equações paramétricas da reta intersecção dos planos:
Passo 1
Entendendo o problema e os conceitos envolvidos
Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos duas equações paramétricas que definem dois planos no espaço tridimensional. Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas da reta onde esses dois planos se intersectam. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e parametrizações de retas e planos.
Passo 2
Escrevendo as equações dos dois planos
Vamos começar escrevendo claramente as equações paramétricas dos dois planos dados:
Plano :
Plano :
Aqui, e são parâmetros que variam em .
Passo 3
Encontrando relações entre os parâmetros dos dois planos
Para encontrar a intersecção, precisamos que um ponto satisfaça as equações de ambos os planos simultaneamente. Isso significa que as coordenadas , e devem ser iguais nas duas parametrizações. Vamos igualar as equações correspondentes:
Igualando :
Simplificando:
Igualando :
Como já encontramos que :
Igualando :
Substituindo e :
Aqui, chegamos a uma contradição .
Passo 4
Analisando o resultado obtido
A contradição encontrada no passo anterior indica que não existe um ponto que satisfaz simultaneamente as equações dos dois planos. Isso significa que os planos não se intersectam em uma reta ou em um ponto; ao contrário, eles são paralelos e distintos.
Passo 5
Conclusão sobre a intersecção dos planos
Como os planos são paralelos e não coincidentes, não existe uma reta de intersecção entre e . Ou seja, eles nunca se encontram em nenhum ponto do espaço.
Resposta
Não existe reta de intersecção entre os planos e , pois eles são paralelos e distintos.