Considere F(A, B)=f: A B ; f é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(f) F(C, C) é um espaço vetorial complexo?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que está sendo pedido. A questão quer saber se o conjunto F(C, C), que é o conjunto de todas as funções que vão dos números complexos para os números complexos, forma um espaço vetorial complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as operações usuais de funções que estamos lidando aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, que podem ser adicionados entre si e multiplicados por escalares (que, nesse caso, são números complexos), obedecendo a certas regras chamadas axiomas. Essas regras garantem que a estrutura seja bem comportada para operações como soma e multiplicação.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o conjunto F(C, C). Aqui, cada “vetor” é uma função que pega um número complexo e retorna outro número complexo. As operações que vamos considerar são a adição de funções e a multiplicação de uma função por um escalar complexo.
  • Adição de funções: Se você tiver duas funções f e g, a soma deles, f + g, é uma nova função onde, para cada número complexo z, (f + g)(z) = f(z) + g(z).
  • Multiplicação por escalar: Se você tiver uma função f e um número complexo alpha, o produto alpha f é uma nova função onde, para cada número complexo z, (alpha f)(z) = alpha cdot f(z).

Passo 4

Para verificar se F(C, C) é um espaço vetorial complexo, precisamos checar se todas as regras dos axiomas de espaços vetoriais são satisfeitas com essas operações. Vamos ver alguns dos principais:
  1. Associatividade da adição: Para funções f, g e h, temos (f + g) + h = f + (g + h). Isso porque, para cada z, a soma de funções é associativa.
  2. Comutatividade da adição: f + g = g + f para quaisquer funções f e g. Isso segue da comutatividade da adição nos números complexos.
  3. Elemento neutro da adição: Existe uma função zero, onde para todo z, 0(z) = 0. Ela funciona como o elemento neutro porque f + 0 = f para qualquer função f.
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada função f, existe uma função -f tal que f + (-f) = 0.
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar: Para um número complexo alpha e uma função f, alpha (f + g) = alpha f + alpha g.
  6. Elementos escalares associados: (alpha + beta)f = alpha f + beta f para números complexos alpha, beta e função f.
  7. Multiplicação por 1: 1 cdot f = f para qualquer função f.
Todas essas propriedades são satisfeitas porque as operações são definidas ponto a ponto e as mesmas propriedades valem nos números complexos.

Resposta

Sim, F(C, C) é um espaço vetorial complexo, pois satisfaz todos os axiomas necessários para ser considerado um espaço vetorial sobre o corpo dos números complexos.

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