Considere é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(f) é um espaço vetorial complexo?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que está sendo pedido. A questão quer saber se o conjunto , que é o conjunto de todas as funções que vão dos números complexos para os números complexos, forma um espaço vetorial complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as operações usuais de funções que estamos lidando aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, que podem ser adicionados entre si e multiplicados por escalares (que, nesse caso, são números complexos), obedecendo a certas regras chamadas axiomas. Essas regras garantem que a estrutura seja bem comportada para operações como soma e multiplicação.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o conjunto . Aqui, cada “vetor” é uma função que pega um número complexo e retorna outro número complexo. As operações que vamos considerar são a adição de funções e a multiplicação de uma função por um escalar complexo.
  • Adição de funções: Se você tiver duas funções e , a soma deles, , é uma nova função onde, para cada número complexo , .
  • Multiplicação por escalar: Se você tiver uma função e um número complexo , o produto é uma nova função onde, para cada número complexo , .

Passo 4

Para verificar se é um espaço vetorial complexo, precisamos checar se todas as regras dos axiomas de espaços vetoriais são satisfeitas com essas operações. Vamos ver alguns dos principais:
  1. Associatividade da adição: Para funções , e , temos . Isso porque, para cada , a soma de funções é associativa.
  2. Comutatividade da adição: para quaisquer funções e . Isso segue da comutatividade da adição nos números complexos.
  3. Elemento neutro da adição: Existe uma função zero, onde para todo , . Ela funciona como o elemento neutro porque para qualquer função .
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada função , existe uma função tal que .
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar: Para um número complexo e uma função , .
  6. Elementos escalares associados: para números complexos , e função .
  7. Multiplicação por 1: para qualquer função .
Todas essas propriedades são satisfeitas porque as operações são definidas ponto a ponto e as mesmas propriedades valem nos números complexos.

Resposta

Sim, é um espaço vetorial complexo, pois satisfaz todos os axiomas necessários para ser considerado um espaço vetorial sobre o corpo dos números complexos.

Exercícios relacionados

Seja a reta determinada pela intersecção dos planos e .Ache a equação do plano que passa por e contém .
Seja . Sendo , e calcule a distância entre e a reta perpendicular comum a e a .
DICA: A reta perpendicular comum a e a é a reta obtida pela interseç̧ão dos planos: contendo e paralelo ao vetor normal a e a e o plano contendo e paralelo ao vetor normal a e a .
Determine o ponto de interseção das retas e , definidas pelas seguintes equações: s:
Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial dado.
(b) e .