Considere
é função
, munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(f)
é um espaço vetorial complexo?
(f)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que está sendo pedido. A questão quer saber se o conjunto
, que é o conjunto de todas as funções que vão dos números complexos para os números complexos, forma um espaço vetorial complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as operações usuais de funções que estamos lidando aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, que podem ser adicionados entre si e multiplicados por escalares (que, nesse caso, são números complexos), obedecendo a certas regras chamadas axiomas. Essas regras garantem que a estrutura seja bem comportada para operações como soma e multiplicação.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o conjunto
. Aqui, cada “vetor” é uma função que pega um número complexo e retorna outro número complexo. As operações que vamos considerar são a adição de funções e a multiplicação de uma função por um escalar complexo.
-
Adição de funções: Se você tiver duas funções
e , a soma deles, , é uma nova função onde, para cada número complexo , . -
Multiplicação por escalar: Se você tiver uma função
e um número complexo , o produto é uma nova função onde, para cada número complexo , .
Passo 4
Para verificar se
é um espaço vetorial complexo, precisamos checar se todas as regras dos axiomas de espaços vetoriais são satisfeitas com essas operações. Vamos ver alguns dos principais:
-
Associatividade da adição: Para funções
, e , temos . Isso porque, para cada , a soma de funções é associativa. -
Comutatividade da adição:
para quaisquer funções e . Isso segue da comutatividade da adição nos números complexos. -
Elemento neutro da adição: Existe uma função zero, onde para todo
, . Ela funciona como o elemento neutro porque para qualquer função . -
Existência de inversos aditivos: Para cada função
, existe uma função tal que . -
Compatibilidade da multiplicação por escalar: Para um número complexo
e uma função , . -
Elementos escalares associados:
para números complexos , e função . -
Multiplicação por 1:
para qualquer função .
Todas essas propriedades são satisfeitas porque as operações são definidas ponto a ponto e as mesmas propriedades valem nos números complexos.
Resposta
Sim,
é um espaço vetorial complexo, pois satisfaz todos os axiomas necessários para ser considerado um espaço vetorial sobre o corpo dos números complexos.
Exercícios relacionados
Seja
a reta determinada pela intersecção dos planos
e
.Ache a equação do plano que passa por
e contém
.
Seja
. Sendo
,
e
calcule a distância entre
e a reta perpendicular comum a
e a
.
DICA: A reta perpendicular comum a e a
é a reta obtida pela interseç̧ão dos planos:
contendo
e paralelo ao vetor normal a
e a
e o plano
contendo
e paralelo ao vetor normal a
e a
.
DICA: A reta perpendicular comum a
Determine o ponto de interseção das retas
e
, definidas pelas seguintes equações:
s:
Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
dado.
(b) e
.
(b)