Seja a reta determinada pela intersecção dos planos e .Ache a equação do plano que passa por e contém .
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado fala sobre encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que contém a reta . Essa reta é a interseção de dois planos: e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente como encontrar a equação de um plano quando conhecemos uma reta que ele contém e um ponto pelo qual passa.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar uma direção para a reta . Como é a interseção de dois planos, a direção de pode ser encontrada pelo produto vetorial dos vetores normais desses planos. Os vetores normais dos planos e são e , respectivamente.
Vamos calcular o produto vetorial :
Então, a direção da reta é .
Passo 3
Agora, precisamos de um ponto na reta . Para isso, vamos resolver o sistema de equações dos dois planos para encontrar dois pontos que pertençam a . Vamos escolher um valor para uma das variáveis para simplificar. Vamos assumir :
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Então, um ponto na reta é .
Passo 4
Agora, temos um ponto e um ponto na reta . Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor que esteja no plano. Podemos usar o vetor direção e o vetor que vai de até :
Passo 5
Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, fazemos o produto vetorial entre e :
Calculando cada componente:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 4:
Passo 6
Com o vetor normal e o ponto , podemos usar a fórmula da equação de um plano: