Seja r a reta determinada pela intersecção dos planos x+y-z=0 e 2 x-y+3 z-1=0.Ache a equação do plano que passa por A(1,0,1) e contém r.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que contém a reta . Essa reta é a interseção de dois planos: e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente como encontrar a equação de um plano quando conhecemos uma reta que ele contém e um ponto pelo qual passa.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar uma direção para a reta d = n1 times n2 = i & j & k 1 & 1 & -1 2 & -1 & 3 = (1 cdot 3 - (-1) cdot (-1))i - (1 cdot 3 - (-1) cdot 2)j + (1 cdot (-1) - 1 cdot 2)k = (3 - 1)i - (3 - (-2))j + (-1 - 2)k = 2i - 5j - 3k . Como é a interseção de dois planos, a direção de pode ser encontrada pelo produto vetorial dos vetores normais desses planos. Os vetores normais dos planos e são e , respectivamente.
Vamos calcular o produto vetorial :
Então, a direção da reta é .

Passo 3

Agora, precisamos de um ponto na reta x + y = 0 2x - y = 1 . Para isso, vamos resolver o sistema de equações dos dois planos para encontrar dois pontos que pertençam a x + y + 2x - y = 0 + 1 Rightarrow 3x = 1 Rightarrow x = 13 . Vamos escolher um valor para uma das variáveis para simplificar. Vamos assumir 13 + y = 0 Rightarrow y = -13 :
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Então, um ponto na reta é .

Passo 4

Agora, temos um ponto PA = (1 - 13, 0 - (-13), 1 - 0) = (23, 13, 1) e um ponto na reta . Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor que esteja no plano. Podemos usar o vetor direção e o vetor que vai de até :

Passo 5

Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, fazemos o produto vetorial entre n = d times PA = i & j & k 2 & -5 & -3 23 & 13 & 1 = (-5 cdot 1 - (-3) cdot 13)i - (2 cdot 1 - (-3) cdot 23)j + (2 cdot 13 - (-5) cdot 23)k e n = (-5 + 1)i - (2 + 2)j + (23 + 103)k = (-4)i - 4j + 4k :
n = (-1, -1, 1)
Calculando cada componente:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 4:

Passo 6

Com o vetor normal nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0 e o ponto -1(x - 1) -1(y - 0) +1(z - 1) = 0 , podemos usar a fórmula da equação de um plano:
- x + 1 - y + z - 1 = 0 Rightarrow -x - y + z = 0 Rightarrow x + y - z = 0
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano é .

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