Considere
é função
, munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(b)
é um espaço vetorial complexo?
(b)
Passo 1
Vamos resolver a questão que pergunta se o conjunto
, que é o conjunto de todas as funções de números reais para números complexos, forma um espaço vetorial complexo. Para isso, vamos precisar dos conceitos de espaço vetorial e das operações de adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, onde podemos adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (escalar), e essas operações seguem certas regras (como comutatividade, associatividade, etc.).
Passo 3
No nosso caso, os “vetores” são as funções de
para
. A adição de duas funções
e
é definida como
para todo
. A multiplicação por um escalar (número complexo)
é definida como
para todo
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se essas operações satisfazem as propriedades de um espaço vetorial complexo:
- Comutatividade da Adição:
. - Associatividade da Adição:
. - Existência do Elemento Neutro: Existe uma função zero
tal que . - Existência do Elemento Oposto: Para cada
, existe tal que . - Compatibilidade da Multiplicação por Escalar:
. - Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:
. - Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:
. - Multiplicação por Escalar Unidade:
.
Passo 5
Verificamos que todas essas propriedades são satisfeitas para as funções de
para
com as operações definidas. Por exemplo, a comutatividade e associatividade da adição vêm diretamente da comutatividade e associatividade da adição em
. A existência do elemento neutro e do elemento oposto também segue das propriedades de
. As propriedades envolvendo escalares complexos também são válidas porque estamos trabalhando sobre o conjunto dos números complexos.
Resposta
Sim,
é um espaço vetorial complexo.