Considere é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(b) é um espaço vetorial complexo?
Passo 1
Vamos resolver a questão que pergunta se o conjunto , que é o conjunto de todas as funções de números reais para números complexos, forma um espaço vetorial complexo. Para isso, vamos precisar dos conceitos de espaço vetorial e das operações de adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, onde podemos adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (escalar), e essas operações seguem certas regras (como comutatividade, associatividade, etc.).
Passo 3
No nosso caso, os "vetores" são as funções de para . A adição de duas funções e é definida como para todo . A multiplicação por um escalar (número complexo) é definida como para todo .
Passo 4
Agora, precisamos verificar se essas operações satisfazem as propriedades de um espaço vetorial complexo:
1. **Comutatividade da Adição:** .
2. **Associatividade da Adição:** .
3. **Existência do Elemento Neutro:** Existe uma função zero tal que .
4. **Existência do Elemento Oposto:** Para cada , existe tal que .
5. **Compatibilidade da Multiplicação por Escalar:** .
6. **Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:** .
7. **Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:** .
8. **Multiplicação por Escalar Unidade:** .
Passo 5
Verificamos que todas essas propriedades são satisfeitas para as funções de para com as operações definidas. Por exemplo, a comutatividade e associatividade da adição vêm diretamente da comutatividade e associatividade da adição em . A existência do elemento neutro e do elemento oposto também segue das propriedades de . As propriedades envolvendo escalares complexos também são válidas porque estamos trabalhando sobre o conjunto dos números complexos.
Resposta
Sim, é um espaço vetorial complexo.
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Encontre a equação do plano que passa pelos pontos e e é perpendicular ao plano .
Sejam e espaços vetoriais sobre . Se e são transformações lineares, define-se a aplicação composta de e (notação: ) da seguinte maneira:
Mostre que é uma transformação linear
Sejam e e duas transformações lineares dadas por e . Sendo o operador idêntico (ou identidade) do , isto é, . Verifique se é um automorfismo do . Se for, determine o automorfismo inverso.
Sejam . Calcule a distância do ponto ao plano .
(a) (b) .