Considere é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula). (b) é um espaço vetorial complexo?

Passo 1

Vamos resolver a questão que pergunta se o conjunto , que é o conjunto de todas as funções de números reais para números complexos, forma um espaço vetorial complexo. Para isso, vamos precisar dos conceitos de espaço vetorial e das operações de adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, onde podemos adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (escalar), e essas operações seguem certas regras (como comutatividade, associatividade, etc.).

Passo 3

No nosso caso, os "vetores" são as funções de para . A adição de duas funções e é definida como para todo . A multiplicação por um escalar (número complexo) é definida como para todo .

Passo 4

Agora, precisamos verificar se essas operações satisfazem as propriedades de um espaço vetorial complexo: 1. **Comutatividade da Adição:** . 2. **Associatividade da Adição:** . 3. **Existência do Elemento Neutro:** Existe uma função zero tal que . 4. **Existência do Elemento Oposto:** Para cada , existe tal que . 5. **Compatibilidade da Multiplicação por Escalar:** . 6. **Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:** . 7. **Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:** . 8. **Multiplicação por Escalar Unidade:** .

Passo 5

Verificamos que todas essas propriedades são satisfeitas para as funções de para com as operações definidas. Por exemplo, a comutatividade e associatividade da adição vêm diretamente da comutatividade e associatividade da adição em . A existência do elemento neutro e do elemento oposto também segue das propriedades de . As propriedades envolvendo escalares complexos também são válidas porque estamos trabalhando sobre o conjunto dos números complexos.

Resposta

Sim, é um espaço vetorial complexo.

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Sejam e espaços vetoriais sobre . Se e são transformações lineares, define-se a aplicação composta de e (notação: ) da seguinte maneira: Mostre que é uma transformação linear
Sejam e e duas transformações lineares dadas por e . Sendo o operador idêntico (ou identidade) do , isto é, . Verifique se é um automorfismo do . Se for, determine o automorfismo inverso.
Sejam . Calcule a distância do ponto ao plano . (a) (b) .