Considere F(A, B)=f: A B ; f é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(b) F(R, C) é um espaço vetorial complexo?

Passo 1

Vamos resolver a questão que pergunta se o conjunto F(R, C), que é o conjunto de todas as funções de números reais para números complexos, forma um espaço vetorial complexo. Para isso, vamos precisar dos conceitos de espaço vetorial e das operações de adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, onde podemos adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (escalar), e essas operações seguem certas regras (como comutatividade, associatividade, etc.).

Passo 3

No nosso caso, os “vetores” são as funções de R para C. A adição de duas funções f e g é definida como (f + g)(x) = f(x) + g(x) para todo x in R. A multiplicação por um escalar (número complexo) alpha é definida como (alpha f)(x) = alpha cdot f(x) para todo x in R.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se essas operações satisfazem as propriedades de um espaço vetorial complexo:
  1. Comutatividade da Adição: f + g = g + f.
  2. Associatividade da Adição: (f + g) + h = f + (g + h).
  3. Existência do Elemento Neutro: Existe uma função zero 0 tal que f + 0 = f.
  4. Existência do Elemento Oposto: Para cada f, existe -f tal que f + (-f) = 0.
  5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar: alpha(beta f) = (alpha beta) f.
  6. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares: alpha(f + g) = alpha f + alpha g.
  7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores: (alpha + beta)f = alpha f + beta f.
  8. Multiplicação por Escalar Unidade: 1 cdot f = f.

Passo 5

Verificamos que todas essas propriedades são satisfeitas para as funções de R para C com as operações definidas. Por exemplo, a comutatividade e associatividade da adição vêm diretamente da comutatividade e associatividade da adição em C. A existência do elemento neutro e do elemento oposto também segue das propriedades de C. As propriedades envolvendo escalares complexos também são válidas porque estamos trabalhando sobre o conjunto dos números complexos.

Resposta

Sim, F(R, C) é um espaço vetorial complexo.

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