Encontre a equação do plano que passa pelos pontos A(1,0,0) e B(1,0,1) e é perpendicular ao plano y=z.

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos A(1,0,0) e B(1,0,1) e que é perpendicular ao plano y = z. Vamos usar conceitos de geometria espacial, principalmente sobre vetores normais e como eles definem a orientação dos planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um plano ser perpendicular a outro. Dois planos são perpendiculares se os vetores normais deles forem perpendiculares entre si. O vetor normal de um plano é aquele que é perpendicular a toda a superfície do plano.

Passo 3

O plano dado é y = z. Podemos reescrever essa equação como 0x + 1y - 1z = 0. Então, o vetor normal desse plano é n1 = (0, 1, -1).

Passo 4

Agora, queremos encontrar o vetor normal do plano que estamos procurando, que chamaremos de n2. Como esse plano passa pelos pontos A e B, podemos encontrar um vetor que está no plano, que é o vetor AB.

Passo 5

Calculando AB:
AB = B - A = (1-1, 0-0, 1-0) = (0, 0, 1)
Então, AB = (0, 0, 1).

Passo 6

Para o vetor normal n2 do nosso plano ser perpendicular ao vetor normal do plano y = z, n2 deve satisfazer:
n1 cdot n2 = 0
E também, como AB está no nosso plano, n2 deve ser perpendicular a AB:
n2 cdot AB = 0

Passo 7

Vamos considerar n2 = (a, b, c). A partir das condições acima, temos:
  1. 0a + 1b - 1c = 0 (do primeiro produto escalar)
  2. 0a + 0b + 1c = 0 (do segundo produto escalar)
Da segunda equação, c = 0.
Substituindo c = 0 na primeira equação:
b = 0
Então, b = 0 e c = 0. O componente a pode ser qualquer número, mas para simplificar, vamos escolher a = 1. Assim, n2 = (1, 0, 0).

Passo 8

Com o vetor normal n2 = (1, 0, 0) e sabendo que o plano passa pelo ponto A(1,0,0), a equação do plano pode ser escrita usando a forma padrão:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Substituindo os valores:
1(x - 1) + 0(y - 0) + 0(z - 0) = 0 Rightarrow x - 1 = 0 Rightarrow x = 1

Resposta

A equação do plano é x = 1.

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