Encontre a equação do plano que passa pelos pontos e e é perpendicular ao plano .

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos e e que é perpendicular ao plano . Vamos usar conceitos de geometria espacial, principalmente sobre vetores normais e como eles definem a orientação dos planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um plano ser perpendicular a outro. Dois planos são perpendiculares se os vetores normais deles forem perpendiculares entre si. O vetor normal de um plano é aquele que é perpendicular a toda a superfície do plano.

Passo 3

O plano dado é . Podemos reescrever essa equação como . Então, o vetor normal desse plano é .

Passo 4

Agora, queremos encontrar o vetor normal do plano que estamos procurando, que chamaremos de . Como esse plano passa pelos pontos e , podemos encontrar um vetor que está no plano, que é o vetor .

Passo 5

Calculando :
Então, .

Passo 6

Para o vetor normal do nosso plano ser perpendicular ao vetor normal do plano , deve satisfazer:
E também, como está no nosso plano, deve ser perpendicular a :

Passo 7

Vamos considerar . A partir das condições acima, temos:
  1. (do primeiro produto escalar)
  2. (do segundo produto escalar)
Da segunda equação, .
Substituindo na primeira equação:
Então, e . O componente pode ser qualquer número, mas para simplificar, vamos escolher . Assim, .

Passo 8

Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , a equação do plano pode ser escrita usando a forma padrão:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano é .

Exercícios relacionados

Sejam e espaços vetoriais sobre . Se e são transformações lineares, define-se a aplicação composta de e (notação: ) da seguinte maneira:
Mostre que é uma transformação linear
Use a base de autovetores para diagonalizar a matriz .
Seja um operador linear dado pela matriz no sistema de coordenadas padrão:
Considere é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(b) é um espaço vetorial complexo?
Sejam e e duas transformações lineares dadas por e . Sendo o operador idêntico (ou identidade) do , isto é, . Verifique se é um automorfismo do . Se for, determine o automorfismo inverso.