Encontre a equação do plano que passa pelos pontos e e é perpendicular ao plano .
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos e e que é perpendicular ao plano . Vamos usar conceitos de geometria espacial, principalmente sobre vetores normais e como eles definem a orientação dos planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um plano ser perpendicular a outro. Dois planos são perpendiculares se os vetores normais deles forem perpendiculares entre si. O vetor normal de um plano é aquele que é perpendicular a toda a superfície do plano.
Passo 3
O plano dado é . Podemos reescrever essa equação como . Então, o vetor normal desse plano é .
Passo 4
Agora, queremos encontrar o vetor normal do plano que estamos procurando, que chamaremos de . Como esse plano passa pelos pontos e , podemos encontrar um vetor que está no plano, que é o vetor .
Passo 5
Calculando AB:
AB = B - A = (1-1, 0-0, 1-0) = (0, 0, 1)
Então, AB = (0, 0, 1).
Passo 6
Para o vetor normal n2 do nosso plano ser perpendicular ao vetor normal do plano y = z, n2 deve satisfazer:
n1 cdot n2 = 0
E também, como AB está no nosso plano, n2 deve ser perpendicular a AB:
n2 cdot AB = 0
Passo 7
Vamos considerar n2 = (a, b, c). A partir das condições acima, temos:
0a + 1b - 1c = 0 (do primeiro produto escalar)
0a + 0b + 1c = 0 (do segundo produto escalar)
Da segunda equação, c = 0.
Substituindo c = 0 na primeira equação:
b = 0
Então, b = 0 e c = 0. O componente a pode ser qualquer número, mas para simplificar, vamos escolher a = 1. Assim, n2 = (1, 0, 0).
Passo 8
Com o vetor normal n2 = (1, 0, 0) e sabendo que o plano passa pelo ponto A(1,0,0), a equação do plano pode ser escrita usando a forma padrão: