Encontre a equação do plano que passa pelos pontos e e é perpendicular ao plano .
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos e e que é perpendicular ao plano . Vamos usar conceitos de geometria espacial, principalmente sobre vetores normais e como eles definem a orientação dos planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um plano ser perpendicular a outro. Dois planos são perpendiculares se os vetores normais deles forem perpendiculares entre si. O vetor normal de um plano é aquele que é perpendicular a toda a superfície do plano.
Passo 3
O plano dado é . Podemos reescrever essa equação como . Então, o vetor normal desse plano é .
Passo 4
Agora, queremos encontrar o vetor normal do plano que estamos procurando, que chamaremos de . Como esse plano passa pelos pontos e , podemos encontrar um vetor que está no plano, que é o vetor .
Passo 5
Calculando :
Então, .
Passo 6
Para o vetor normal do nosso plano ser perpendicular ao vetor normal do plano , deve satisfazer:
E também, como está no nosso plano, deve ser perpendicular a :
Passo 7
Vamos considerar . A partir das condições acima, temos:
(do primeiro produto escalar)
(do segundo produto escalar)
Da segunda equação, .
Substituindo na primeira equação:
Então, e . O componente pode ser qualquer número, mas para simplificar, vamos escolher . Assim, .
Passo 8
Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , a equação do plano pode ser escrita usando a forma padrão: